Семплирование по Гиббсу

Семплирование по Гиббсу — алгоритм для генерации выборки совместного распределения множества случайных величин. Он используется для оценки совместного распределения и для вычисления интегралов методом Монте-Карло. Этот алгоритм является частным случаем алгоритма Метрополиса-Гастингса и назван в честь физика Джозайи Гиббса.

Семплирование по Гиббсу замечательно тем, что для него не требуется явно выраженное совместное распределение, а нужны лишь условные вероятности для каждой переменной, входящей в распределение. Алгоритм на каждом шаге берет одну случайную величину и выбирает её значение при условии фиксированных остальных. Можно показать, что последовательность получаемых значений образуют возвратную цепь Маркова, устойчивое распределение которой является как раз искомым совместным распределением.

Применяется семплирование по Гиббсу в тех случаях, когда совместное распределение случайных величин очень велико или неизвестно явно, но условные вероятности известны и имеют простую форму. Семплирование по Гиббсу особенно хорошо используется для работы с апостериорной вероятностью в байесовских сетях, поскольку в них заданы все необходимые условные вероятности.

Алгоритм

Пусть есть совместное распределение $p(x_{1},...,x_{d})$ для $d$ случайных величин, причём $d$ может быть очень большим. Пусть на шаге $t$ мы уже выбрали какое-то значение $X=\{x_{i}^{t}\}$ . На каждом шаге делаются следующие действия:

Выбирается индекс $i:(1\leq i\leq d$ ).
$x_{i}^{t+1}$ выбирается по распределению $p(x_{i}|x_{1}^{t},...,x_{i-1}^{t},x_{i+1}^{t},...,x_{d}^{t})$ , а для остальных индексов значение не меняется: $x_{j}^{t+1}=x_{j}^{t}$ (j≠i).

На практике обычно индекс выбирают не случайно, а последовательно. Алгоритм прост и не требует никаких специальных знаний и предположений, поэтому он популярен.

Пример

Пусть есть совместное распределение $p(x_{1},x_{2},x_{3})$ из трех случайных величин, каждая из которых находится в диапазоне от 0 до 10.

Примем, что первоначальное значение вектора, от которого начнется итерационный процесс, будет $X=\{5,2,7\}$ .

Далее фиксируем $x_{2}$ и $x_{3}$ , после чего рассчитываем по известной заранее формуле условную вероятность $p(x_{1}|x_{2},x_{3})$ , то есть $p(x_{1}|x_{2}=2,x_{3}=7)$ , получая некоторый график плотности вероятности от переменной $x_{1}$ . То, что изначально $x_{1}$ мы положили равным 5, забываем, больше это значение не понадобится.

Теперь необходимо выполнить семплирование — сгенерировать новое случайное значение для $x_{1}$ в соответствии с полученной плотностью вероятности. Семплирование можно сделать, например, по алгоритму выборки с отклонением. Для этого генерируется случайное число с равномерным распределением от 0 до 10, после чего для этого сгенерированного числа вычисляется его вероятность по графику плотности вероятности $p(x_{1}|x_{2}=2,x_{3}=7)$ .

Например, пусть сгенерировалось случайное число 4 и по графику плотности его вероятность равна 0.2. Тогда, в соответствии с алгоритмом выборки с отклонением, мы принимаем это сгенерированное число с вероятностью 0.2. А для этого, в свою очередь, генерируем ещё одно случайное число от 0 до 1 с равномерным распределением, и, если сгенерировалось число меньше 0.2, то мы принимаем число 4 как успешное. Иначе повторяем сначала — генерируем ещё одно число (например выпадает 3), для него находим вероятность (например, 0.3), для него генерируем ещё число от 0 до 1 (например, 0.1) и тогда уже принимаем окончательно, что на этой итерации $x_{1}=3$ .

Далее необходимо повторить все действия выше с величиной $x_{2}$ , причём $x_{1}$ мы уже используем «новое» — в нашем примере равное 3. Так, рассчитываем плотность вероятности $p(x_{2}|x_{1}=3,x_{3}=7)$ , генерируем снова случайное число на роль кандидата нового значения $x_{2}$ , делаем выборку с отклонением и повторяем её в случае, если значение «отклонено».

Аналогично действия повторяются для $x_{3}$ с новыми значениями $x_{1}$ и $x_{2}$ . Первая итерация алгоритма семплирования по Гиббсу завершена. Через несколько сотен/тысяч таких итераций случайные значения должны прийти к максимуму своей плотности, который может быть расположен достаточно далеко от нашего первого приближения $X=\{5,2,7\}$ и семплироваться в той области. Дальнейшая тысяча итераций может уже использоваться по назначению (для поиска математического ожидания, например) как образец значений искомого распределения, не зависящих от первоначального вектора $X=\{5,2,7\}$ .

См. также

Ссылки