Решётка Лича — решётка определённого типа в 24-мерном пространстве.

Построения

править

Конструкция через код Голея

править

Решётка Лича может быть определена с помощью кода Голея   типа   как образ при сжатии в   раз множества векторов   таких, что

 

и для каждого класса j вычетов по модулю 4 двоичное 24-битовое слово v, заданное как

 

принадлежит  .

Конструкция через псевдоевклидово пространство сигнатуры (25,1)

править

Решётка Лича может быть построена с помощью псевдоевклидова пространства сигнатуры (25,1). А именно, в этом пространстве рассматривается чётная унимодулярная решётка  , состоящая из векторов  , у которых все координаты одновременно целые или одновременно полуцелые, и при этом  , иными словами, скалярное произведение с вектором из всех единиц чётно.

Такой решётке принадлежит изотропный вектор  . Отметим, что в силу изотропности  , поэтому можно рассмотреть факторпространство  . Ограничение скалярного произведения на это факторпространство (опять-таки, в силу изотропности  ) корректно определено и оказывается положительно определённым. Образ   пересечения исходной решётки с ортогональным дополнением при такой факторизации и будет решёткой Лича в получившемся 24-мерном евклидовом пространстве[1].

Свойства

править
  • Решётка Лича реализует плотнейшую[4][5] упаковку шаров в размерности 24. Плотность упаковки решётки Лича составляет  .

См. также

править

Литература

править
  • Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. — М.: Мир, 1990.

Примечания

править
  1. J. H. Conway, N. J. A. Sloane. Chapter 26, Theorem 3(b) // Sphere packings, lattices and groups (англ.). — P. 524.
  2. 1 2 «Контактное число шаров и сферические коды» Архивная копия от 14 октября 2008 на Wayback Machine — фильм из серии «Математические этюды»
  3. 1 2 Weisstein, Eric W. Leech Lattice (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. Аннотация курса В. В. Успенского Решетка Лича, или По направлению к Монстру Архивная копия от 7 февраля 2009 на Wayback Machine
  5. Lisa Grossman. New maths proof shows how to stack oranges in 24 dimensions (англ.) // New Scientist. — 2016. — 28 March. Архивировано 30 июля 2018 года.