Расстояние Левенштейна

Расстояние Левенштейна (редакционное расстояние, дистанция редактирования) — метрика, измеряющая по модулю разность между двумя последовательностями символов. Она определяется как минимальное количество односимвольных операций (а именно вставки, удаления, замены), необходимых для превращения одной последовательности символов в другую. В общем случае, операциям, используемым в этом преобразовании, можно назначить разные цены. Широко используется в теории информации и компьютерной лингвистике.

Впервые задачу поставил в 1965 году советский математик Владимир Левенштейн при изучении последовательностей $0-1$, впоследствии более общую задачу для произвольного алфавита связали с его именем. Большой вклад в изучение вопроса внёс Дэн Гасфилд.

Применение

Расстояние Левенштейна и его обобщения активно применяется:

• для исправления ошибок в слове (в поисковых системах, базах данных, при вводе текста, при автоматическом распознавании отсканированного текста или речи).
• для сравнения текстовых файлов утилитой diff и ей подобными. Здесь роль «символов» играют строки, а роль «строк» — файлы.
• в биоинформатике для сравнения генов, хромосом и белков.

С точки зрения приложений определение расстояния между словами или текстовыми полями по Левенштейну обладает следующими недостатками:

1. При перестановке местами слов или частей слов получаются сравнительно большие расстояния;
2. Расстояния между совершенно разными короткими словами оказываются небольшими, в то время как расстояния между очень похожими длинными словами оказываются значительными.

Редакционное предписание

Редакционным предписанием называется последовательность действий, необходимых для получения из первой строки второй кратчайшим образом. Обычно действия обозначаются так: D (англ. delete) — удалить, I (англ. insert) — вставить, R (replace) — заменить, M (match) — совпадение.

Например, для 2 строк «CONNECT» и «CONEHEAD» можно построить следующую таблицу преобразований:

M	M	M	R	I	M	R	R
C	O	N	N		E	C	T
C	O	N	E	H	E	A	D

Найти только расстояние Левенштейна — более простая задача, чем найти ещё и редакционное предписание (подробнее см. ниже).

Обобщения

Разные цены операций

Цены операций могут зависеть от вида операции (вставка, удаление, замена) и/или от участвующих в ней символов, отражая разную вероятность мутаций в биологии, разную вероятность разных ошибок при вводе текста и т. д. В общем случае:

• w(a, b) — цена замены символа a на символ b
• w(ε, b) — цена вставки символа b
• w(a, ε) — цена удаления символа a

Необходимо найти последовательность замен, минимизирующую суммарную цену. Расстояние Левенштейна является частным случаем этой задачи при

• w(a, а) = 0
• w(a, b) = 1 при a≠b
• w(ε, b) = 1
• w(a, ε) = 1

Как частный случай, так и задачу для произвольных w, решает алгоритм Вагнера — Фишера, приведённый ниже. Здесь и ниже мы считаем, что все w неотрицательны, и действует неравенство треугольника: замена двух последовательных операций одной не увеличит общую цену (например, замена символа x на y, а потом y на z не лучше, чем сразу x на z).

Транспозиция

Если к списку разрешённых операций добавить транспозицию (два соседних символа меняются местами), получается расстояние Дамерау — Левенштейна. Для неё также существует алгоритм, требующий O(MN) операций. Дамерау показал, что 80 % ошибок при наборе текста человеком являются транспозициями. Кроме того, расстояние Дамерау — Левенштейна используется и в биоинформатике.

Формула

Здесь и далее считается, что элементы строк нумеруются с первого, как принято в математике, а не с нулевого, как принято во многих языках программирования.

Пусть $S_{1}$ и $S_{2}$ — две строки (длиной $M$ и $N$ соответственно) над некоторым алфавитом, тогда редакционное расстояние (расстояние Левенштейна) ${\rm {d}}(S_{1},S_{2})$ можно подсчитать по следующей рекуррентной формуле

$\ {\rm {d}}(S_{1},S_{2})=D(M,N)$ , где

$D(i,j)=\left\{{\begin{array}{llcl}0,&&&i=0,\ j=0\\i,&&&j=0,\ i>0\\j,&&&i=0,\ j>0\\\min\{\\&D(i,j-1)+1,\\&D(i-1,j)+1,&&j>0,\ i>0\\&D(i-1,j-1)+{\rm {m}}(S_{1}[i],S_{2}[j])\\\}\end{array}}\right.$,

где ${\rm {m}}(a,b)$ равна нулю, если $a=b$ и единице в противном случае; $\min\{\,a,b,c\,\}$ возвращает наименьший из аргументов.

Здесь шаг по $i$ символизирует удаление (D) из первой строки, по $j$ — вставку (I) в первую строку, а шаг по обоим индексам символизирует замену символа (R) или отсутствие изменений (M).

Очевидно, справедливы следующие утверждения:

• ${\rm {d}}(S_{1},S_{2})\geqslant {\bigl |}|S_{1}|-|S_{2}|{\bigr |}$
• ${\rm {d}}(S_{1},S_{2})\leqslant \max {\bigl (}|S_{1}|,|S_{2}|{\bigr )}$
• $\mathop {\rm {d}} (S_{1},S_{2})=0\Leftrightarrow S_{1}=S_{2}$

Пример работы алгоритма.

		P	O	L	Y	N	O	M	I	A	L
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
E	1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X	2	2	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P	3	2	3	3	4	5	6	7	8	9	10
O	4	3	2	3	4	5	5	6	7	8	9
N	5	4	3	3	4	4	5	6	7	8	9
E	6	5	4	4	4	5	5	6	7	8	9
N	7	6	5	5	5	4	5	6	7	8	9
T	8	7	6	6	6	5	5	6	7	8	9
I	9	8	7	7	7	6	6	6	6	7	8
A	10	9	8	8	8	7	7	7	7	6	7
L	11	10	9	8	9	8	8	8	8	7	6

Доказательство

Рассмотрим формулу более подробно. Очевидно, что редакционное расстояние между двумя пустыми строками равно нулю. Так же очевидно то, что чтобы получить пустую строку из строки длиной $i$, нужно совершить $i$ операций удаления, а чтобы получить строку длиной $j$ из пустой, нужно произвести $j$ операций вставки.

Осталось рассмотреть нетривиальный случай, когда обе строки непусты.

Для начала заметим, что в оптимальной последовательности операций их можно произвольно менять местами. В самом деле, рассмотрим две последовательные операции:

• Две замены одного и того же символа — неоптимально (если мы заменили x на y, потом — y на z, выгоднее было сразу заменить x на z).
• Две замены разных символов можно менять местами
• Два стирания или две вставки можно менять местами
• Вставка символа с его последующим стиранием — неоптимально (можно их обе отменить)
• Стирание и вставку разных символов можно менять местами
• Вставка символа с его последующей заменой — неоптимально (излишняя замена)
• Вставка символа и замена другого символа меняются местами
• Замена символа с его последующим стиранием — неоптимально (излишняя замена)
• Стирание символа и замена другого символа меняются местами

Пусть $S_{1}$ кончается на символ «a», $S_{2}$ кончается на символ «b». Есть три варианта:

1. Символ «а», на который кончается $S_{1}$, в какой-то момент был стёрт. Сделаем это стирание первой операцией. Тогда мы стёрли символ «a», после чего превратили первые $i-1$ символов $S_{1}$ в $S_{2}$ (на что потребовалось $D(i-1,\ j)$ операций), значит, всего потребовалось $D(i-1,\ j)+1$ операций
2. Символ «b», на который кончается $S_{2}$, в какой-то момент был добавлен. Сделаем это добавление последней операцией. Мы превратили $S_{1}$ в первые $j-1$ символов $S_{2}$, после чего добавили «b». Аналогично предыдущему случаю, потребовалось $D(i,\ j-1)+1$ операций.
3. Оба предыдущих утверждения неверны. Если мы добавляли символы справа от финального «a», то, чтобы сделать последним символом «b», мы должны были или в какой-то момент добавить его (но тогда утверждение 2 было бы верно), либо заменить на него один из этих добавленных символов (что тоже невозможно, потому что добавление символа с его последующей заменой неоптимально). Значит, символов справа от финального «a» мы не добавляли. Самого финального «a» мы не стирали, поскольку утверждение 1 неверно. Значит, единственный способ изменения последнего символа — его замена. Заменять его 2 или больше раз неоптимально. Значит,
   1. Если $a=b$, мы последний символ не меняли. Поскольку мы его также не стирали и не приписывали ничего справа от него, он не влиял на наши действия, и, значит, мы выполнили $D(i-1,\ j-1)$ операций.
   2. Если $a\neq b$, мы последний символ меняли один раз. Сделаем эту замену первой. В дальнейшем, аналогично предыдущему случаю, мы должны выполнить $D(i-1,\ j-1)$ операций, значит, всего потребуется $D(i-1,\ j-1)+1$ операций.

Алгоритм Вагнера — Фишера

Для нахождения кратчайшего расстояния необходимо вычислить матрицу D, используя вышеприведённую формулу. Её можно вычислять как по строкам, так и по столбцам. Псевдокод алгоритма:

 для всех i от 0 до M
   для всех j от 0 до N
     вычислить D(i, j)
 вернуть D(M, N)

Или в более развёрнутом виде, и при произвольных ценах замен, вставок и удалений:

 D(0, 0) = 0
 для всех j от 1 до N
   D(0, j) = D(0, j - 1) + цена вставки символа S2[j]
 для всех i от 1 до M
   D(i, 0) = D(i - 1, 0) + цена удаления символа S1[i]
 для всех j от 1 до N
   D(i, j) = min{
     D(i - 1, j) + цена удаления символа S1[i],
     D(i, j - 1) + цена вставки символа S2[j],
     D(i - 1, j - 1) + цена замены символа S1[i] на символ S2[j]
   }
 вернуть D(M, N)

(Напоминаем, что элементы строк нумеруются с первого, а не с нулевого.)

Для восстановления редакционного предписания требуется вычислить матрицу D, после чего идти из правого нижнего угла (M,N) в левый верхний, на каждом шаге ища минимальное из трёх значений:

• если минимально ($D(i-1,j)$+ цена удаления символа S1[i]), добавляем удаление символа S1[i] и идём в (i-1, j)
• если минимально ($D(i,j-1)$+ цена вставки символа S2[j]), добавляем вставку символа S2[j] и идём в (i, j-1)
• если минимально ($D(i-1,j-1)$+ цена замены символа S1[i] на символ S2[j]), добавляем замену S1[i] на S2[j] (если они не равны; иначе ничего не добавляем), после чего идём в (i-1, j-1)

Здесь (i, j) — клетка матрицы, в которой мы находимся на данном шаге. Если минимальны два из трёх значений (или равны все три), это означает, что есть 2 или 3 равноценных редакционных предписания.

Этот алгоритм называется алгоритмом Вагнера — Фишера. Он предложен Р. Вагнером (R. A. Wagner) и М. Фишером (M. J. Fischer) в 1974 году.

Память

Алгоритм в виде, описанном выше, требует $\Theta (M\cdot N)$ операций и такую же память. Последнее может быть неприятным: так, для сравнения файлов длиной в 10⁵ строк потребуется около 40 гигабайт памяти.

Если требуется только расстояние, легко уменьшить требуемую память до $\Theta (\min\{\,M,N\,\})$. Для этого надо учесть, что после вычисления любой строки предыдущая строка больше не нужна. Более того, после вычисления D(i, j) не нужны также D(i-1,0) … D(i-1,j-1). Поэтому алгоритм можно переписать как

 для всех i от 0 до M
   для всех j от 0 до N
     вычислить D(i, j)
   если i > 0
     стереть строку D(i - 1)
 вернуть D(M, N)

или даже

 для всех i от 0 до M
   для всех j от 0 до N
     вычислить D(i, j)
     если i > 0 и j > 0
       стереть D(i - 1, j - 1)
 вернуть D(M, N)

Если требуется редакционное предписание, экономия памяти усложняется.

Для того, чтобы обеспечить время $\Theta (M\cdot N)$ при памяти $\Theta (\min\{\,M,N\,\})$, определим матрицу E минимальных расстояний между суффиксами строк, то есть E(i, j) — расстояние между последними i символами $S_{1}$ и последними j символами $S_{2}$. Очевидно, матрицу E можно вычислить аналогично матрице D, и так же быстро.

Теперь опишем алгоритм, считая, что $S_{2}$ — кратчайшая из двух строк.

• Если длина одной из строк (или обеих) не больше 1, задача тривиальна. Если нет, выполним следующие шаги.
• Разделим строку $S_{1}$ на две подстроки длиной $M/2$. (Если M нечётно, то длины подстрок будут $(M-1)/2$ и $(M+1)/2$.) Обозначим подстроки $S_{1}^{-}$ и $S_{1}^{+}$.
• Для $S_{1}^{-}$ вычислим последнюю строку матрицы D, а для $S_{1}^{+}$ — последнюю строку матрицы E.
• Найдём i такое, что $D(|S_{1}^{-}|,i)+E(|S_{1}^{+}|,N-i)$ минимально. Здесь D и Е — матрицы из предыдущего шага, но мы используем только их последние строки. Таким образом, мы нашли разбиение $S_{2}$ на две подстроки, минимизирующее сумму расстояния левой половины $S_{1}$ до левой части $S_{2}$ и расстояния правой половины $S_{1}$ до правой части $S_{2}$. Следовательно, левая подстрока $S_{2}$ соответствует левой половине $S_{1}$, а правая — правой.
• Рекурсивно ищем редакционное предписание, превращающее $S_{1}^{-}$ в левую часть $S_{2}$ (то есть в подстроку $S2[1...i]$)
• Рекурсивно ищем редакционное предписание, превращающее $S_{1}^{+}$ в правую часть $S_{2}$ (то есть в подстроку $S2[i+1...N]$).
• Объединяем оба редакционных предписания.

Время выполнения удовлетворяет (с точностью до умножения на константу) условию

$T(M,N)=MN+T(M/2,N')+T(M/2,N-N'),\ 0\leq N'\leq N$,

откуда следует (доказывается индукцией по M)

$T(M,N)\leq 2MN$

следовательно

$T(M,N)=\Theta (M\cdot N)$

Требуемая память пропорциональна $N+N/2+N/4+...=2N$

Кроме того, есть алгоритмы, экономящие память за счёт существенного замедления, например, время становится кубическим, а не квадратичным, по длине строк.