Равномерное распределение

Равномерное распределение вероятностей — общее название класса распределений вероятностей, возникающего при распространении идеи «равновозможности исходов» на непрерывный случай. Подобно нормальному распределению равномерное распределение появляется в теории вероятностей как точное распределение в одних задачах и как предельное — в других.

Понятие равномерного распределения первоначально появилось для дискретного множества значений случайной величины, где это понятие интуитивно наиболее просто воспринимается и означает, что каждое из этих значений реализуется с одинаковой вероятностью. Для абсолютно непрерывной случайной величины условие равной вероятности заменяется условием постоянства функции плотности. В одномерном случае это означает, что вероятность попадания случайной величины в любой допустимый промежуток фиксированной длины одна и та же и зависит только от его длины. В результате дальнейшего обобщения понятие равномерного распределения было перенесено на многомерные распределения, а также распределения, заданные в общем виде как вероятностная мера.

Определение

Пусть $(\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$ — пространство с мерой, где $\Omega$ — множество, ${\mathcal {F}}$ — сигма-алгебра подмножеств $\Omega$ и $\mu$ — конечная мера на ${\mathcal {F}}$. Тогда равномерным распределением на множестве $\Omega$ относительно меры $\mu$ называется вероятностная мера $P$, удовлетворяющая равенству

$P(A)={\frac {\mu (A)}{\mu (\Omega )}},$ $A\in {\mathcal {F}}$.

Важнейшие частные случаи

Дискретное равномерное распределение

Основная статья: Дискретное равномерное распределение

Дискретное равномерное распределение — распределение, в котором случайная величина принимает конечное число значений с равными вероятностями. Множество $\Omega$ (оно должно быть непустым и конечным) в этом случае является перечислимым, и мера $\mu$ определена как количество элементов множества (считающая мера).

Непрерывное равномерное распределение

Основная статья: Непрерывное равномерное распределение

Непрерывное равномерное распределение — распределение случайной величины с постоянной почти всюду на $\Omega$ плотностью вероятности. В этом случае $\Omega \in S^{n}$, где $S^{n}$ — борелевская сигма-алгебра подмножеств $\mathbb {R} ^{n}$ ($n$ — натуральное число), ${\mathcal {F}}=\{A\in S^{n}:A\subseteq \Omega \}$ и $\mu$ — лебегова мера, заданная на $(\Omega ,\;{\mathcal {F}})$ в пространстве $(\mathbb {R} ^{n},\;S^{n})$.