Сигма-алгебра

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра, си́гма-а́лгебра множеств) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

Определение

Семейство ${\mathfrak {S}}$ подмножеств множества $X$ называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

1. ${\mathfrak {S}}$ содержит множество $X$.
2. Если $E\in {\mathfrak {S}}$, то и его дополнение $X\backslash E\in {\mathfrak {S}}$.
3. Объединение или пересечение счётного подсемейства из ${\mathfrak {S}}$ принадлежит ${\mathfrak {S}}$

Пояснения

• Из пунктов 1 и 2 определения следует, что любая σ-алгебра содержит пустое множество $\varnothing$.
• Поскольку

  $\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=X\backslash \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }(X\backslash A_{n})\right),$

в пункте 3 достаточно требовать, чтобы только пересечение или только объединение принадлежало ${\mathfrak {S}}$.

• Требование в пункте 1 избыточно, так как из пункта 3 следует, что пересечение или объединение конечного числа элементов из ${\mathfrak {S}}$ принадлежит ${\mathfrak {S}}$ (обратное в общем случае неверно), откуда по пунктам 2 и 3 имеем $\emptyset =E\cap (X\backslash E)\in {\mathfrak {S}}$ и $X=X\backslash \emptyset \in {\mathfrak {S}}$.
• Для любой системы множеств ${\mathcal {S}}$ существует наименьшая сигма-алгебра $\sigma ({\mathcal {S}})$, являющаяся её надмножеством.
• Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств ${\mathcal {S}}$) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на $\sigma ({\mathcal {S}})$, то есть на наименьшую сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
• σ-алгебра, порождённая случайной величиной $\xi :\,X\rightarrow \mathbb {R}$, определяется следующим образом:

$\sigma (\xi )=\left\{\xi ^{-1}(B)\mid B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\right\}$,

где ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — наименьшая сигма-алгебра на пространстве $X$, относительно которой случайная величина $\xi$ всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве $X$ вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции $\xi$ её можно ввести и наделить таким образом пространство $X$ структурой измеримого пространства, так что функция $\xi$ будет измеримой.

Измеримое пространство

Основная статья: Измеримое пространство

Измеримое пространство — пара $(X,{\mathcal {F}})$, где $X$ — множество, а ${\mathcal {F}}$ — некоторая сигма-алгебра его подмножеств.

Примеры

• Борелевская сигма-алгебра
• Для любого множества $X$ существует тривиа́льная σ-алгебра $\left\{X,\varnothing \right\}$.
• Для любого множества $X$ существует σ-алгебра, которая содержит все его подмножества.

Литература

• Макаров Б. М. Лекции по вещественному анализу. — БХВ-Петербург, 2011. — ISBN 978-5-9775-0631-1.