Произведение мер

Произведе́ние ме́р в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — формальный способ построить меру на декартовом произведении двух пространств с мерами.

Построение

Пусть $(X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}),\;i=1,\;2$ — два пространства с мерами. Тогда $X_{1}\times X_{2}$ — декартово произведение множеств $X_{1}$ и $X_{2}$ .

${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ является семейством подмножеств $X_{1}\times X_{2}$ . Оно, вообще говоря, не замкнуто относительно счётных объединений, и следовательно не является $\sigma$ -алгеброй. Введём обозначение

{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}=\sigma ({\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2})

— минимальная $\sigma$ -алгебра, содержащая ${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ . Тогда $(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2})$ — измеримое пространство. Определим на нём меру $\mu _{1}\otimes \mu _{2}\colon {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}\to \mathbb {R}$ следующим образом:

\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\mu _{1}(A_{1})\cdot \mu _{2}(A_{2}),\quad \forall A=A_{1}\times A_{2}\in {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}.

Тогда $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ продолжается единственным образом с ${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ на ${\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}$ :

\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{2}}\mu _{1}(A_{x_{2}})\,\mu _{2}(dx_{2}),\quad A\in {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}

или

\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{1}}\mu _{2}(A_{x_{1}})\,\mu _{1}(dx_{1}),

где

A_{x_{2}}=\{x_{1}\in X_{1}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}

— сечение

A

вдоль

x_{2}\in X_{2}

, а

A_{x_{1}}=\{x_{2}\in X_{2}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}

— сечение

A

вдоль

x_{1}\in X_{1}

.

Получившаяся мера $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ называется произведением мер $\mu _{1}$ и $\mu _{2}$ . Пространство с мерой $(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \mu _{2})$ называется (прямым) произведением исходных пространств.

Замечания

Если $(\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mathbb {P} _{i}),\;i=1,\;2$ — два вероятностных пространства, то $(\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2})$ называется их произведением.
Если $X,\;Y\colon \Omega \to \mathbb {R}$ — случайные величины, то $\mathbb {P} ^{X},\;\mathbb {P} ^{Y}$ — распределения на $\mathbb {R}$ $X$ и $Y$ соответственно, а $\mathbb {P} ^{X,\;Y}$ — распределение на $\mathbb {R} ^{2}$ случайного вектора $(X,\;Y)^{\top }$ . Если $X,\;Y$ — независимы, то