Проективный предел

Проективный предел (обратный предел) — используемая в различных разделах математики конструкция, которая позволяет построить новый объект $X$ по семейству (индексированному направленным множеством) однотипных объектов $X_{i}$ и набору отображений $f_{ij}:X_{j}\to X_{i}$, $i\leqslant j$. Один из видов пределов в теории категорий.

Для проективного предела обычно используются следующие обозначения:

$X=\varprojlim X_{i}$,

$X=\projlim X_{i}$.

Проективный предел можно определить в произвольной категории. Двойственное понятие — прямой предел.

История

Проективные пределы появляются в работах Александрова.

Определение

Алгебраические структуры

Для алгебраических систем проективный предел определяется следующим образом. Пусть $I$ — направленное множество $\leqslant$ (например, множество целых чисел), и пусть каждому элементу $i\in I$ сопоставлена алгебраическая система $X_{i}$ из какого-либо фиксированного класса (например, абелевых групп, модулей над заданным кольцом), а каждой паре $(i,\;j)$, такой что $i,\;j\in I$, $i\leqslant j$, сопоставлен гомоморфизм $f_{ij}:X_{j}\to X_{i}$, причём $f_{ii}$ — тождественные отображения для любого $i\in I$ и $f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}$ для любых $i\leqslant j\leqslant k$ из $I$. Тогда множество-носитель проективного предела направленного семейства — это подмножество $X$ прямого произведения $X_{i}$, для элементов которого каждая компонента эквивалентна компонентам с меньшими индексами:

$\varprojlim X_{i}={\biggl \{}(x_{i})\in \prod _{i\in I}X_{i}\;{\bigg |}\;x_{i}=f_{ij}(x_{j})\ \forall i\leqslant j{\biggr \}}.$

Существуют канонические проекции $\pi _{i}\colon X\to X_{i}$, выбирающие $i$-ю компоненту прямого произведения для каждого $i\in I$. Эти проекции должны являться гомоморфизмами, исходя из этого можно восстановить добавленную алгебраическую структуру на проективном пределе.

Общий случай

В произвольной категории проективный предел можно описать при помощи его универсального свойства. Пусть $(X_{i},f_{ij})$ — семейство объектов и морфизмов категории C, удовлетворяющее тем же требованиям, что и в предыдущем пункте. Тогда $X$ называется проективным пределом системы $(X_{i},f_{ij})$, или $X=\varprojlim X_{i}$, если выполнены следующие условия:

1. существует такое семейство отображений $\pi _{i}:X\to X_{i}$, что $\pi _{i}=f_{ij}\circ \pi _{j}$ для любых $i\leqslant j$;
2. для любого семейства отображений $\psi _{i}:Y\to X_{i}$, произвольного объекта $Y$, для которого выполнены равенства $\psi _{i}=f_{ij}\circ \psi _{j}$ для любых $i\leqslant j$, существует единственное отображение $u:Y\to X$, что $\psi _{i}=\pi _{i}\circ u$, для всех $i\in I$.

Более общо, проективный предел — это предел в категорном смысле системы $(X_{i},f_{ij})$.

Примеры

• Целые $p$-адические числа являются проективным пределом последовательности $\mathbb {Z} _{p^{n}}$ с естественными отображениями вида «взятие остатка» $\mathbb {Z} _{p^{n}}\to \mathbb {Z} _{p^{m}}$ при $n\geqslant m$.
• Кольцо $\textstyle R[[t]]$ формальных степенных рядов над коммутативным кольцом $R$ — проективный предел колец $\textstyle R[t]/t^{n}R[t]$, индексированных натуральными числами, с естественными проекциями $\textstyle R[t]/t^{n+j}R[t]\to \textstyle R[t]/t^{n}R[t]$.
• Канторово множество гомеоморфно проективному пределу произведений двуточечных множеств (с дискретной топологией) с проекциями на первые несколько координат в качестве отображений.
• Проконечные группы определяются как проективные пределы конечных (дискретных) групп.
• В категории топологических пространств проективные пределы задаются инициальной топологией на соответствующем множестве-носителе.

Литература

• Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Проективный предел — статья из Математической энциклопедии. М. Ш. Цаленко
• Jan-Erik Roos. Derived functors of inverse limits revisited // J. London Math. Soc.. — 2006. — Т. 73, № 1. — С. 65—83. — doi:10.1112/S0024610705022416.