Формальный степенной ряд

Формальный степенно́й ряд — формальное алгебраическое выражение вида:

$F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},$

в котором коэффициенты $a_{n}$ принадлежат некоторому кольцу $R$.

В отличие от степенных рядов в анализе, формальным степенным рядам не придаётся числовых значений и сходимость таких рядов не рассматривается.

Формальные степенные ряды исследуются в алгебре, топологии, комбинаторике. Кроме того, они являются удобным инструментом при исследовании различных гладких объектов, например, в дифференциальной топологии и теории дифференциальных уравнений.

Основные понятия

Алгебраические операции

На формальных степенных рядах можно определить операции сложения ($+$), умножения ($\cdot$), формального дифференцирования ($'$) и композиции ($\circ$) следующим образом. Пусть

$F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},\qquad G(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n},\qquad H(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n}.$

Тогда

$H=F+G\iff \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n};$

$H=F\,\cdot \,G\iff \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{k+l=n}a_{k}b_{l};$

$H=F'\iff \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{n+1};$

$H=F\circ G\iff \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{s=1}^{n}a_{s}\sum \limits _{k_{1}+\ldots +k_{s}=n}b_{k_{1}}b_{k_{2}}\ldots b_{k_{s}}$ (при этом необходимо, чтобы $b_{0}=0$).

Таким образом, формальные степенные ряды над кольцом $R$ сами образуют кольцо, обозначаемое $R[[X]]$.

Метрика и топология

В кольце $R[[X]]$ также можно задать топологию, порождаемую следующей метрикой:

$d((a_{n}),\;(b_{n}))=2^{-k},$

где $k$ — наименьшее натуральное число такое, что $a_{k}\neq b_{k}$.

Можно доказать, что определённые умножение и сложение в этой топологии являются непрерывными, и тогда, формальные степенные ряды с определённой топологией образуют топологическое кольцо.

Обратимые элементы

Формальный ряд

$F(X)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}$

в $R[[X]]$ является обратимым относительно умножения тогда и только тогда, когда $a_{0}$ является обратимым в $R$. Это является необходимым, поскольку свободный член произведения равен $a_{0}b_{0}$, и достаточным, поскольку коэффициенты обращённого ряда $G(X)$ определяются по формуле:

${\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}},\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i},\qquad \forall n\geqslant 1.F(X)G(X)=1\end{aligned}}$

Если же $F(0)=0$, а также $F'(0)\not =0$, то найдётся ряд $G(X)$ (аналогично $H(X)$), обратный для него относительно композиции, т.е. такой, что $F(G(X))=X$ (аналогично $H(F(X))=X)$).

При этом будет выполнено $G(0)=0$ (аналогично $H(0)=0$). Оставшиеся коэффициенты ряда $G(X)$ ($H(X)$) можно выразить через коэффициенты $F(X)$ пошагово дифференцируя равенство $F(G(X))=X$ (аналогично $H(F(X))=X)$) и подставляя в него $X=0$.

Свойства

• Максимальными идеалами кольца формальных степенных рядов являются идеалы $M$, для которых $M\cap R$ является максимальным идеалом в $R$ и $M$ есть порождение $X$ и $M\cap R$.
• Если $R$ является локальным кольцом, то локальным кольцом является также $R[[X]]$.
• $R$ — нётерово кольцо, то $R[[X]]$ также является кольцом Нётер.
• Если $R$ — область целостности, то $R[[X]]$ также будет областью целостности.
• Метрическое пространство $(R[[X]],\;d)$ является полным.
• Кольцо $R[[X]]$ является компактным тогда, когда кольцо $R$ является конечным.
• Лемма Бореля — Уитни: для любого формального ряда существует такая бесконечно-гладкая функция, ряд Тейлора которой совпадает с данным формальным рядом.

См. также

• Степенной ряд
• Производящая функция последовательности

Ссылки

• Формальные степенные ряды на сайте PlanetMath.
• Павлова Н. Г., Ремизов А. О. Гладкие функции, формальные ряды и теоремы Уитни // Математическое образование. — 2016. — № 3 (79). — стр. 49—65.