Принцип Дирихле (математическая физика)

В математической физике при́нцип Дирихле́ относится к теории потенциала и формулируется следующим образом: если функция u(x) есть решение уравнения Пуассона:

$\Delta u+f=0$

в области $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ с граничным условием $u=g$ на границе $\Omega$, то u может быть найдена как решение вариационной задачи: найти минимум

$E[v(x)]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x$

среди всех дважды дифференцируемых функций $v$ таких, что $v=g$ на границе $\Omega$.

Данное утверждение сформулировал (но не доказал) немецкий математик Дирихле. Карл Вейерштрасс показал, что в некоторых ситуациях принцип Дирихле неверен; позднее условия его применения уточнили Бернгард Риман, Анри Пуанкаре, Давид Гильберт и другие математики.

Литература

• Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. — М.: Наука, 2005, ISBN 978-5-9221-0576-7.
• Михлин С. Г. Вариационные методы решения задач математической физики. УМН, 5:6(40) (1950), 3—51.
• Петрова С. С. О принципе Дирихле // История и методология естественных наук. — М.: МГУ, 1966. — Вып. 5. — С. 200—218.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Dirichlet's Principle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.