Пример Куперберг

Пример Куперберг — пример бесконечно гладкого векторного поля без особых точек и периодических траекторий на трёхмерной сфере. Построен Кристиной Куперберг, является контрпримером к гипотезе Зейферта.

Стоит отметить, что все векторные поля, достаточно близкие к расслоению Хопфа, имеют периодические траектории. Это утверждает теорема Зейферта (что и послужило мотивировкой для вышеупомянутой гипотезы).

Построение

Пример Куперберг строится перестройкой слоения с конечным числом периодических траекторий, заключающейся во вклеивании вместо окрестности выпрямления специального векторного поля — пробки (или ловушки) Куперберг. Эта последняя — векторное поле на трёхмерном кубе, вертикальное близ границы и без особых точек внутри, отображение Пуанкаре с нижней грани которого на верхнюю тождественно везде, где оно определено. При этом на нижней грани имеются точки, такие, что входящие в куб в этих точках траектории никогда из куба не выходят.

При замене поля в окрестности выпрямления вокруг участка периодической траектории на ловушку Куперберг, новых периодических траекторий не создаётся (поскольку глобально отображение последования не поменялось), а старая периодическая траектория при этом может быть разорвана (достаточно при «вклейке» ловушки сопоставить точку старой периодической траектории точке, чья траектория «теряется» внутри куба).

Обобщения

Конструкция Куперберг также позволяет построить гладкое векторное поле без особых точек и периодических траекторий на любом замкнутом трёхмерном многообразии (а также на замкнутых многообразиях большей размерности, при условии, что векторное поле без особых точек вообще существует — что эйлерова характеристика многообразия равна нулю).

Ссылки

• Étienne Ghys, Construction de champs de vecteurs sans orbite périodique (d’après Krystyna Kuperberg), Séminaire Bourbaki, Vol. 1993/94. Astérisque No. 227 (1995), Exp. No. 785, 5, 283—307.
• Krystyna Kuperberg. A smooth counterexample to the Seifert conjecture. Ann. of Math. (2) 140 (1994), no. 3, 723—732.
• K. Kuperberg, Aperiodic dynamical systems. Notices Amer. Math. Soc. 46 (1999), no. 9, 1035—1040.