Правильный тетраэдр

Тетраэдр называется правильным, если все его грани — равносторонние треугольники.

Правильный тетраэдр
Тип	правильный многогранник
Комбинаторика
Элементы	4 грани 6 рёбер 4 вершины Χ = 2
Грани	правильные треугольники
Конфигурация вершины	3.3.3
Двойственный многогранник	тоже правильный тетраэдр
Классификация
Символ Шлефли	{3,3}
Группа симметрии	$T_{d}\cong S_{4}$
Количественные данные
Длина ребра	$a$
Площадь поверхности	${\sqrt {3}}a^{2}$
Объём	${\frac {\sqrt {2}}{12}}a^{3}$
Телесный угол при вершине	$\arccos {\frac {23}{27}}\approx 0.55129$ ср

У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны.

Свойства правильного тетраэдра

Самодвойственность правильного тетраэдра.

• Каждая его вершина является вершиной трех равносторонних треугольников. А значит, сумма плоских углов при каждой вершине будет равна $\pi$.
• В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с серединными треугольниками четырёх граней тетраэдра, а все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
  • Правильный тетраэдр с ребром $x$ состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) с ребром ${\frac {x}{2}}$ и четырёх тетраэдров (по вершинам) с ребром ${\frac {x}{2}}$.
• Правильный тетраэдр можно вписать в куб, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба, а все шесть рёбер тетраэдра будут совмещены с диагоналями граней куба.

• Объём правильного тетраэдра равен $V={\frac {\sqrt {2}}{12}}a^{3}$
• Площадь поверхности равна ${\sqrt {3}}a^{2}$
• Радиус вписанной сферы равен ${\frac {\sqrt {6}}{12}}a$
• Радиус описанной сферы равен ${\frac {\sqrt {6}}{4}}a$
• Радиус полувписанной сферы равен ${\frac {\sqrt {2}}{4}}a$
• Высота правильного тетраэдра равна ${\frac {\sqrt {6}}{3}}a$ = радиус вписанной сферы + радиус описанной сферы = ${\frac {\sqrt {6}}{12}}a+{\frac {\sqrt {6}}{4}}a$
• Угол между двумя гранями равен $\arccos {\frac {1}{3}}\approx 70{,}53^{\circ }$

Интересные факты

Середины граней правильного тетраэдра также образуют правильный тетраэдр.

Соотношения:

• рёбер и высот правильных тетрадров, радиусов переписанных, описанных и писанных сфер соответственно равны ${\frac {1}{3}}$;
• площадей поверхности равно ${\frac {1}{9}}$;
• объёмов равно ${\frac {1}{27}}$.