Правило Лопиталя
Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя[1]) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Точная формулировка
правитьТеорема Лопиталя:
Если: — действительнозначные функции, дифференцируемые в проколотой окрестности точки , где — действительное число или один из символов , причём
- или ;
- в ;
- существует ;
тогда существует .
Пределы также могут быть односторонними.
История
правитьСпособ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли[3].
Примеры
править-
Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, но можно поступить иначе. Необходимо разделить и числитель, и знаменатель на в наибольшей степени(в нашем случае ). В этом примере получается: - — применение правила раз;
- при ;
- .
Контрпример
правитьВ некоторых ситуациях правило Лопиталя может не дать ожидаемого результата, так как существование предела отношения производных не вытекает из существования предела отношения самих функций. Пример[4]:
- отношение имеет предел в бесконечности (единица), но у отношения производных предела нет.
Следствие
правитьПростое, но полезное следствие правила Лопиталя — признак дифференцируемости функций, состоит в следующем:
Пусть функция дифференцируема в проколотой окрестности точки , а в самой этой точке она непрерывна и имеет предел производной . Тогда функция дифференцируема и в самой точке , и (то есть, производная непрерывна в точке ).
Для доказательства достаточно применить правило Лопиталя к отношению .
См. также
правитьАналогом правила Лопиталя для последовательностей вещественных чисел является Теорема Штольца.
Примечания
править- ↑ Архивированная копия . Дата обращения: 14 декабря 2010. Архивировано 6 февраля 2009 года.
- ↑ Фихтенгольц, 1966, с. 314—316.
- ↑ Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of , p.216
- ↑ Когда нельзя применять правило Лопиталя на YouTube
Литература
править- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. I. — 680 с. — ISBN 5-9221-0156-0.