Полунорма
Полунорма или преднорма — обобщение понятия норма; в отличие от последней, полунорма может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.
Определение
правитьПолунормой называется неотрицательная функция , в линейном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел, удовлетворяющая следующим условиям:
- Абсолютная однородность: для любого скаляра
- Неравенство треугольника: для всех
Пространство называется полунормированным пространством.
Свойства
править- Это свойство следует из первого условия определения и равенства , здесь первый нуль принадлежит полю вещественных или комплексных чисел, а второй и третий — пространству :
- (где следует из линейности )
- Это свойство также получается из первого условия при .
- Если предположить существование такого , что , то из первого условия определения следует, что и . Воспользовавшись вторым условием, получаем противоречие с первым свойством.
Литература
править- Рудин У. Функциональный анализ, пер. с англ., — М., 1975.
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |