Полицикл

Полицикл векторного поля (также используется термин сепаратрисный многоугольник) — это замкнутая инвариантная кривая, состоящая из особых точек и соединяющих их отрезков фазовых кривых. Различные задачи, связанные с предельными циклами (такие как проблема Дюлака, 16-я проблема Гильберта, проблема Гильберта-Арнольда и др.) зачастую сводятся к изучению бифуркаций векторных полей, содержащих полициклы. Поскольку векторное поле задаёт автономное дифференциальное уравнение и соответствующую динамическую систему, говорят также о полициклах уравнений и систем.

Полицикл, в который входит седловая особая точка (два раза), и две её сепаратрисные связки, а также его отображение Пуанкаре

Формальное определение

Полициклом векторного поля называется циклически занумерованный набор особых точек $p_{1},\ldots ,p_{n}$ (возможно, с повторениями) и набор дуг фазовых кривых $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}$ (без повторений), последовательно соединяющих указанные особые точки — то есть дуга $\gamma _{j}$ соединяет точки $p_{j}$ и $p_{j+1}$, где $p_{n+1}\equiv p_{1}$, $j=1,\ldots ,n$.

Цикличность полицикла

Говоря неформально, цикличность полицикла — это количество предельных циклов, «рождающихся из полицикла» в результате малого возмущения системы. Чтобы придать этому определению строгий смысл, необходимо указать, какие именно малые возмущения рассматриваются — иными словами, включить систему с полициклом в некоторое семейство. Точное определение звучит следующим образом:

Определение. Рассмотрим некоторое семейство векторных полей $\{v_{\varepsilon }(x)\}$, зависящее от (вообще говоря, многомерного) параметра $\varepsilon \in \mathbb {R} ^{k}$. Пусть при $\varepsilon =\varepsilon _{*}$ система имеет полицикл $\gamma$. Цикличностью полицикла $\gamma$ в семействе $\{v_{\varepsilon }\}$ называется такое минимальное число $\mu$, что найдётся такая окрестность полицикла $U\supset \gamma$ и такая окрестность $V$ критического значения параметра ($\mathbb {R} ^{k}\supset V\ni \varepsilon _{*}$), что для всех $\varepsilon \in V$ в области $U$ одновременно существует не более $\mu$ предельных циклов, причём хаусдорфово расстояние между этими циклами и $\gamma$ стремится к нулю при $\varepsilon \to \varepsilon _{*}$.

Источники

• В. Ю. Калошин. Проблема Гильберта — Арнольда и оценка цикличности полициклов на плоскости и в пространстве. Функц. анализ и его прил., 35:2 (2001), 78–81.