Эволюционный процесс (математика)

Эволюцио́нный проце́сс (процесс с дифференциальным законом развития) (англ. evolutionary process, от лат. evolutio ― развёртывание и processus — продвижение) ― процесс, обладающий свойством детерминированности, конечномерности и дифференцируемости.

Основная задача теории дифференциальных уравнений — определение или исследование движения эволюционной системы по векторному полю фазовой скорости. Например, исследуется вопрос о виде фазовых кривых: уходят ли фазовые кривые данного векторного поля в фазовом пространстве на бесконечность или остаются в ограниченной области?

Определения

Детерминированный процесс

Детерминированный процесс — процесс, для которого состояние в настоящее время однозначно определяет как весь его будущий ход (то есть будущие состояния), так и всё его прошлое (то есть прошлые состояния).

Фазовое пространство детерминированного процесса — множество всевозможных состояний процесса.

Фазовая точка — точка фазового пространства.

Примеры. Детерминированные процессы в классической механике суть движение таких механических систем, будущее и прошлое которых однозначно определяются начальными условиями (то есть начальными положениями и начальными скоростями всех точек системы). Фазовое пространство механической системы — множество, элемент которого есть набор положений и скоростей всех точек системы.

Недетерминированный процесс — движение частиц в квантовой механике.

Полудетерминированный процесс — распространение тепла, для которого будущее определяется настоящим, а прошлое — нет.

Конечномерный процесс

Конечномерный процесс — детерминированный процесс, фазовое пространство которого конечномерно, то есть описывается конечным числом параметров.

Примеры. Конечномерный процесс — ньютоновская механика систем из конечного числа материальных точек или твёрдых тел. Фазовые пространства этих систем имеют следующие размерности:

• систем из $n$ материальных точек — $6n$;
• система из $n$ твёрдых тел — $12n$.

Бесконечномерные процессы — движение жидкостей и газа в гидродинамике, колебания струны и мембраны, распространение волн в оптике и акустике.

Дифференцируемый процесс

Дифференцируемый процесс — детерминированный процесс, фазовое пространство которого обладает структурой дифференцируемого многообразия, а его динамика, то есть изменение состояния со временем, описывается дифференцируемыми функциями.

Примеры. Обыкновенными дифференциальными уравнениями могут быть описаны:

• изменения во времени координат и скоростей точек механической системы в классической механике;
• процессы радиоактивного распада и размножения бактерий (при достаточном питании), имеющие одномерное фазовое пространство, поскольку состояние процесса описывается количеством вещества или бактерий.

Не дифференцируемы движения, возникающие в теории удара. Обыкновенными дифференциальными уравнениями не описываются квантовая механика, теория теплопроводности, гидродинамика, теория упругости, оптика, акустика и теория удара.

Замечание. Как вид дифференциального уравнения процесса, так и факт детерминированности, конечномерности и дифференцируемости процесса устанавливается экспериментальным путём, то есть с некоторой степенью точности. Обычно в теории не различают реальные процессы и идеализированные математические модели.

Фазовое пространство

Основная статья: Фазовое пространство

Задача об автомобилях и возах

Задача об автомобилях и возах. Начальное положение возов

Задача (Н. Н. Константинов)(Задача об автомобилях и возах. В. И. Арнольд). Города $A$ и $B$ связаны двумя близкими непересекающиеся дорогами. Два автомобиля, связанные верёвкой длины, меньшей $2l$, проехали по разным дорогам из $A$ в $B$, не порвав верёвки. Могут ли разминуться, не коснувшись, два круглых воза радиуса $l$, центры которых движутся по этим дорогам один из $A$ в $B$, а другой из $B$ в $A$ (см. рисунок справа)?

Задача об автомобилях и возах. Фазовое пространство пары экипажей

Решение. Построим фазовое пространство процесса, описанного в задаче. Пусть одна из дорого будет первой, другая — второй. Обозначим через $x_{i}$ долю расстояния между городами $A$ и $B$ по $i$-дороге, лежащую между городом $A$ и экипажем (автомобилем или возом) на этой дороге. Тогда положение объекта, состоящего из двух одноимённых экипажей (двух автомобилей или двух возов), находящихся на разных дорогах, можно описать точкой следующего квадрата $M$ (см. рисунок справа):

$M=\{x_{1},x_{2}\mid 0\leqslant x_{i}\leqslant 1\}.$

Итак, фазовое пространство процесса — этот квадрат, а точки квадрата — фазовые точки. Получается, что каждая фазовая точка соответствует определенному положению пары одноимённых экипажей, а движение этой пары изображается движением фазовой точки в фазовом пространстве.

Поясним это примерами:

• начальное положение пары автомобилей (в городе $A$) отвечает левому нижнему углу квадрата с координатами $(0,0)$, а движение пары автомобилей из города $A$ в $B$ есть кривая, ведущая в противоположный угол с координатами $(1,1)$;
• начальное положение пары возов отвечает левому верхнему углу квадрата с координатами $(0,1)$, а движение возов есть кривая, ведущей в противоположный угол квадрата с координатами $(1,0)$ — если возы доехали до своих городов.

Остаётся провести рассуждение от противного. Пусть возы разминулись по дороге и доехали до своих городов. Тогда на фазовом пространстве будут две соответствующие кривые (см. рисунок справа вверху). Но любые две кривые в квадрате, соединяющие разные пары противоположных вершин, пересекаются. Следовательно, как бы ни двигались возы, наступит хотя бы один момент, когда пара возов займет то же самое положение $C$ в квадрате, в котором была в некоторый момент времени пара автомобилей. Но в этот момент, по условию задачи, расстояние между центрами возов будет меньше $2l$, что противоречит предположению, что возы разминулись. Итак, возам разминуться не удастся.

Основная задача теории дифференциальных уравнений

В рассмотренной задаче об автомобилях и возах не присутствуют дифференциальные уравнения, но ход рассуждений близок к их изучению: определение состояний эволюционного процесса точками фазового пространства бывает чрезвычайно полезен. Итак, уже одно построение фазового пространства дало возможность решить трудную задачу.

В классической механике:

• состояние эволюционного процесса движения системы $n$ материальных точек в трёхмерном пространстве определяется их значениями координат и скоростей, поэтому фазовое пространство этой системы имеет размерность $6n$ (по три координаты и три компоненты скорости на каждую точку). Например, фазовое пространство системы трёх точек (Солнце, Юпитер, Сатурн) 18-мерно;

фазовое пространство системы $n$ твёрдых тел имеет размерность $12n$, поскольку добавляется три координаты, описывающие ориентацию тела в пространстве.

Фазовая кривая — траектория движения фазовой точки в фазовом пространстве.

Фазовая скорость — движение фазовой точки по фазовой кривой, которое описывает движение всей системы.

Вектор фазовой скорости — вектор, заданный в каждой фазовой точке фазового пространства, определяющий фазовую скорость.

Векторное поле фазовой скорости — все векторы фазовой скорости в фазовом пространстве.

Дифференциальное уравнение эволюционного процесса — зависимость скорости движения фазовой точки от её положения, определяемое векторным полем.

Основная задача теории дифференциальных уравнений — определение или исследование движения эволюционной системы по векторному полю фазовой скорости. Например, исследуется вопрос о виде фазовых кривых: уходят ли фазовые кривые данного векторного поля в фазовом пространстве на бесконечность или остаются в ограниченной области?

Компьютеры приближенно находят решения дифференциальных уравнений на конечном отрезке времени, но не дают ответа на качественные вопросы о поведении фазовых кривых в целом.

Благодаря понятию фазового пространства можно свести исследование эволюционных процессов к геометрическим задачам о кривых, которые определяются векторными полями.

Интегральные кривые поля направлений

Поле направлений

Основная статья: Поле направлений

Поле направлений и его интегральная кривая

Поле направлений в области на плоскости — все точки области, причём для каждой точки выбрана проходящая через эту точку прямая, которая называется прямой (направлением) поля направлений, а точка, ей соответствующая — точкой приложения прямой (см. рисунок справа, на котором показана только небольшая часть прямой около точки).

Если две гладкие кривые проходят через одну точку и в ней касаются друг друга, то они задают в этой точке одно и то же направление. Поскольку важна только касательная к кривой в точке (см. рисунок справа, где показана касательная к кривой в точке), прямые в определении поля направлений можно заменить гладкими кривыми, касательные которых в точках суть исходные направления.

Непрерывное (гладкое) поле направлений — поле направлений, у которого прямые поля непрерывно (гладко) зависят от своих точек приложения.

В дальнейшем все встречающиеся в статье объекты (функции, отображения и так далее) предполагаются гладкими, то есть непрерывно дифференцируемыми нужное число раз, если, конечно, не оговорено противное.

Поле направлений в $n$-мерном пространстве и вообще на любом гладком многообразии определяется аналогично.

Интегральная кривая

Основная статья: Интегральная кривая

Интегральная кривая поля направлений — кривая, которая в каждой своей точке касается имеющегося в этой точке направления поля.

Термин «интегральная кривая» возник потому, что в некоторых случаях интегральная кривая находится применением операции интегрирования.

Поле, инвариантное относительно вертикальных сдвигов

Пример 1. Возможен такой случай, когда непрерывное поле направлений на плоскости переходит в себя при любых сдвигах вдоль некоторой прямой и направления, параллельные этой прямой, отсутствуют (см. рисунок справа, на котором эта прямая вертикальная).

Теорема. Интегральные кривые поля направлений. Поиск интегральных кривых поля направлений, описанного в примере 1, есть отыскание интегралов некоторой непрерывной функции.

Доказательство. Рассмотрим систему координат, в которой описанная прямая — вертикальная ось ординат, а ось абсцисс горизонтальна. Получаем, что интегральная кривая данного поля, не имеющего вертикальных направлений, — график некоторой неизвестной функции, производная которой равна тангенсу угла наклона графика функции к оси абсцисс. Но график функции — интегральная кривая тогда и только тогда, когда этот тангенс равен другому тангенсу — угла наклона прямой данного поля направлений к оси абсцисс. Следовательно, этот последний тангенс — известная функция абсциссы (так как поле направлений переходит само в себя при перемещении вдоль оси ординат). Окончательно получаем, что некоторая функция, график которой есть интегральная кривая, имеет производной эту известную функцию абсциссы, то есть является её первообразной, что и требовалось доказать.

Перепишем условие этой теоремы в формальном виде. Пусть $t$ — абсцисса, а $x$ — ордината. Известную функцию — тангенс угла наклона прямой поля направлений — обозначим через $v(t)$, неизвестную функцию, график которой есть интегральная кривая, — через $\varphi$. Кривая $x=\varphi (t)$ есть интегральная кривая тогда и только тогда, когда ${\frac {d\varphi (t)}{dt}}\equiv v(t)$. По теореме Барроу $\varphi (t)=\int v(t)dt+C$.

Следует иметь ввиду, что а общем случае поиск интегральных кривых не сводится к интегрированию: даже для очень простых полей направлений на плоскости уравнения интегральных кривых не получается представить в виде конечных комбинаций элементарных функций и интегралов.

Пример 2. Для поля направлений с тангенсом $x^{2}-t$ угла наклона с осью $x$ прямой, приложенной в точке $(t,x)$, не получается представить уравнения интегральных кривых в виде конечных комбинаций элементарных функций и интегралов (Лиувилль).

Дифференциальное уравнение и его решение

Решение дифференциального уравнения

Основная статья: Дифференциальное уравнение

График решения дифференциального уравнения

Геометрический поиск интегральных кривых аналитически выглядит как решение дифференциального уравнения. Пусть поле направлений на плоскости $(t,x)$ не содержит вертикальных направлений (которые параллельны оси ординат $x$ (см. рисунок справа с таким полем). В этих условиях тангенс $v(t,x)$ угла наклона к оси абсцисс прямой поля направлений, приложенной в точке $(t,x)$, конечен, а интегральные кривые — графики функций $x=\varphi (t)$. Также пусть область определения функции $\varphi (t)$ — интервал $I$ оси $t$ (см. рисунок справа с этими условиями). Тогда достаточно очевидна следующая теорема.

Теорема. График функции $\varphi (t)$ есть интегральная кривая тогда и только тогда, когда при всех $t\in I$ справедливо следующее равенство:

${\frac {d\varphi (t)}{dt}}=v(t,\varphi (t)).$

Решение дифференциального уравнения ${\dot {x}}(t)=v(t,x(t))$ — функция $\varphi (t)$, если она удовлетворяет равенству ${\frac {d\varphi (t)}{dt}}=v(t,\varphi (t))$, то есть уравнение ${\dot {x}}(t)=v(t,x(t))$ становится тождеством, когда функцию $\varphi (t)$ подставляют в него вместо $x$. Другими словами, решение дифференциального уравнения — это функция, заданная на некотором интервале, и график этой функции — интегральная кривая.

Начальные условия

Основная статья: Начальные и граничные условия

Начальное условие $(t_{0},x_{0})$ решения $\varphi (t)$ — набор фиксированных координат $(t_{0},x_{0})$, которому удовлетворяет решение $\varphi (t)$, то есть имеет место равенство $\varphi (t_{0})=x_{0}$. Другими словами, решение удовлетворяет начальному условию $(t_{0},x_{0})$, если интегральная кривая проходит через данную точку (см. рисунок вверху справа с точкой $(t_{0},x_{0})$).

Пример. Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение ${\dot {x}}(t)=v(t)$ с начальным условием $(t_{0},x_{0})$. Его решение определяется формулой Барроу:

$\varphi (t)=x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}v(\tau )\,d\tau .$

Поле направлений функции $v(t)$, или поле направлений уравнения ${\dot {x}}(t)=v(t,x(t))$ — поле направлений на плоскости, определяемое дифференциальным уравнением, поскольку приложенная в точке $(t,x)$ прямая имеет тангенс угла наклона $v(t,x)$.

Эволюционное уравнение с одномерным фазовым пространством

Автономное уравнение

Автономное дифференциальное уравнение — дифференциальной уравнение, которое явно не зависит от независимой переменной $t$. Скорость эволюции автономной дифференциальной системы, то есть системы, не взаимодействующей с другими системами, определяется только самим состоянием этой системы. Это отражает то обстоятельство, что от времени законы природы не зависят.

Векторное поле и поле направлений для уравнения ${\dot {x}}=v(x)$

Рассмотрим уравнение, которое описывает эволюционный процесс с одномерным фазовым пространством:

${\dot {x}}=v(x)$.

Правая часть этого уравнения определяет векторное поле фазовой скорости, то есть в точке $x$ приложен вектор $v(x)$ (см. левую часть рисунка справа).

Положение равновесия (стационарная точка, особая точка) векторного поля — точка, где фазовая скорость $v(x)$ обращается в нуль. Другими словами, если $a$ — положение равновесия, то решение уравнения есть $\varphi (t)\equiv a$, то есть эволюционный процесс, начавшись в состоянии положения равновесия $a$, всегда в нём остаётся.

На рисунке справа присутствует только одно положение равновесия — $a$. Это положение равновесия неустойчиво, то есть при небольшом отклонении начального условия от равновесного фазовая точка с течением времени уходит от положения равновесия.

На рисунке справа также показано поле направлений уравнения ${\dot {x}}=v(x)$. Поскольку $v(x)$ не зависит от $t$, поле направлений переходит в себя при сдвигах вдоль оси абсцисс $t$.

Решение автономного уравнения

Теорема. О решении уравнения ${\dot {x}}=v(x)$. Решение $x=\varphi (t)$ автономного уравнения ${\dot {x}}=v(x)$, у которого:

• правая часть непрерывна и не обращается в $0$;
• начальное условие $(t_{0},x_{0})$,

есть выражение

$t=t_{0}+\int \limits _{x_{0}}^{x}{\frac {d\xi }{v(\xi )}};$

обратно, функция $x=\varphi (t)$, определяемая этим выражением, есть решение автономного уравнения ${\dot {x}}=v(x)$, удовлетворяющее начальному условию.

Доказательство 1. (доказательство 2 см. ниже.) Интегральные кривые поля направлений автономного уравнения ${\dot {x}}=v(x)$ находятся, согласно теореме интегральных кривых поля направлений, одним интегрированием (только в той области, где поле направлений не параллельно оси абсцисс $t$, то есть где отсутствуют равновесия, $v(x)\neq 0$). Кроме того, пусть функция $v(x)$ непрерывна и нигде не обращается в нуль. Теперь можно выписать явную формулу, которая определит интегральные кривые.

Заметим, что тангенс угла наклона поля направлений автономного уравнения ${\dot {x}}=v(x)$ к оси ординат $x$ равен ${\frac {1}{v(x)}}$. Поэтому поле направлений уравнения ${\frac {dx}{dt}}=v(x)$ то же самое, что и поле направлений уравнения ${\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{v(x)}}$. Следовательно, интегральные кривые этих уравнений одинаковые. Наконец, интегральная кривая второго уравнения ${\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{v(x)}}$ определяется формулой Барроу, а именно:

$t=t_{0}+\int \limits _{x_{0}}^{x}{\frac {d\xi }{v(\xi )}}.$

Дифференциальная 1-форма

Основная статья: Дифференциальная форма

Существует мнемонический способ запомнить формулу

$t=t_{0}+\int \limits _{x_{0}}^{x}{\frac {d\xi }{v(\xi )}}:$

запишем исходное уравнение в виде ${\frac {dx}{dt}}=v(x)$ и рассмотрим символ ${\frac {dx}{dt}}$ как дробь. В этих условиях перепишем уравнение, собрав все $x$ слева, а все $t$ справа: ${\frac {dx}{v(x)}}=dt$. Проинтегрируем левую и правую части, получим исходное уравнение: $t=\int {\frac {dx}{v(x)}}$.

На самом деле этот метод больше, чем просто мнемоническое правило. Лейбниц ввёл такое сложное обозначение ${\frac {dx}{dt}}$ для определения действительно дроби: $dx$ делённое на $dt$. Потому что эти обозначения $dx$ и $dt$ — не таинственные «бесконечно малые» величины, а нормальные конечные числа — скалярные функции вектора, точнее, проекции вектора.

Числитель и знаменатель дроби ${\frac {dx}{dt}}$

Пусть дан вектор $A$ скорости некоторого движения, приложенный в какой-либо точке на плоскости с фиксированными координатами $(t,x)$ (см. рисунок справа с касательным вектором $A$). Рассмотрим две скалярные функции этого вектора $A$ при этом движении:

• линейная скорость $dt(A)$ изменения координаты $t$;
• линейная скорость $dx(A)$ изменения координаты $x$.

Например, значение этих скалярных функции на векторе $A$ с компонентами $(10,20)$ есть соответственно $dt(A)=10$ и $dx(A)=20$. Поэтому $A$ имеет компоненты $(dt(A),dx(A))$. Приходим к следующему предложению.

Предложение. Пусть дана гладкая функция $x=\varphi (t)$. Для любого вектора $A$, который касается её графика в некоторой точке, отношение скалярных функций ${\frac {dx(A)}{dt(A)}}$ равно производной ${\frac {dx}{dt}}$ функции $\varphi (t)$ в этой точке.

Другими словами, уравнение ${\frac {dx}{v(x)}}=dt$ есть выражение с линейными скалярными функциями от некоторого приложенного вектора, который касается интегральной кривой.

Дифференциальная 1-форма — скалярная функция приложенного вектора, линейная при фиксированной точке приложения.

Следовательно, любую дифференциальную 1-форму на плоскости $(t,x)$ можно записать в следующем виде:

$\omega =adt+bdx$,

где $a$ и $b$ — некоторые функции на плоскости.

Интеграл дифференциальной 1-формы

Определение интеграла 1-формы.

Рассмотрим интегрирование дифференциальных форм вдоль ориентированных отрезков кривых. Пусть дана кривая на плоскости $\Gamma$. Выберем на её отрезке ориентирующий параметр $u$, то есть представим $\Gamma$ в виде образа гладкого отображения $\gamma \colon I\to \mathbb {R}$ (рис. 8) отрезка вещественной оси $I$ в плоскость (см. рисунок справа с кривой $\Gamma$ и отрезком $I$). Тогда интеграл 1-формы $\omega$ вдоль кривой $\Gamma$ определяется как вещественное число следующим образом:

$\int \limits _{\Gamma }\omega =\int \limits _{\Gamma }\omega (\gamma ')du,\quad$ где $\quad \gamma '={\frac {d\gamma }{du}}.$

Формально, интеграл 1-формы — это предел интегральных сумм ${\text{∑}}\omega (A_{i})$ со следующими обозначениями (см. рисунок справа с этими обозначениями):

• $A_{i}=\gamma '(u_{i})\Delta _{i}$;
• $u_{i}$ — точки, которыми отрезок вещественной оси $I$ делится на отрезки с длинами $\Delta _{i}=u_{i+1}-u_{i}$;
• вектор $A_{i}$ касается кривой $\Gamma$, причём он отличается от вектора хорды, которая соединяет последовательные точки деления на кривой $\Gamma$, только малыми высшего порядка относительно $\Delta _{i}$.

Формула замены переменной в определенном интеграле позволяет сформулировать следующие два предложение.

Предложение 1. Интеграл 1-формы $\omega$, взятый по ориентированному отрезку кривой, не зависит от выбора согласованного с ориентацией параметра (при изменении ориентации кривой интеграл меняет знак).

Предложение 2. Интеграл 1-формы $f(x)dx$, взятый no отрезку кривой, на котором переменная $x$ есть параметр, равен обычному определенному интегралу функции $f(x)$.

Теперь вернёмся к теореме о решении уравнения ${\dot {x}}=v(x)$.

Доказательство 2. Значения дифференциальных 1-форм ${\frac {dx}{v(x)}}$ и $dt$ на векторах, касающихся интегральной кривой $\Gamma$, совпадают. Следовательно, их интегралы вдоль участка кривой равны. Тогда, согласно последнему предложению 2, интеграл 1-формы $dt$ равен левой, а 1-формы ${\frac {dx}{v(x)}}$ — правой части следующей формулы:

$t-t_{0}=\int \limits _{x_{0}}^{x}{\frac {d\xi }{v(\xi )}}.$

Источники

• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 4-е изд. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000. 367 с., ил.
• Мышкис А. Д. Эволюционное уравнение // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 923—924.
• Константинов Н. Н. Задача // Математическое просвещение. Математика, её преподавание, приложения и история. Под. ред. Я. С. Дубнова, А. А. Ляпунова, А. И. Маркушевича. Вып. 2. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. 820 с., ил. С. 268—269.
• Процесс // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1975. Т. 21. Проба — Ременсы. 1975. 640 с. с илл., 20 илл., 3 л. карт. С. 161.
• Эволюция // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1978. Т. 29. Чаган — Экс-ле-Бен. 1978. 640 с. с илл., 22 л. илл., 6 л. карт. С. 558.