Параметризованный постньютоновский формализм

Параметризо́ванный постнью́тоновский формали́зм (ППН формали́зм) — версия постньютоновского формализма, применимая не только к общей теории относительности, но и к другим метрическим теориям гравитации, когда движения тел удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна. В таком подходе явно выписываются все возможные зависимости гравитационного поля от распределения материи вплоть до соответствующего порядка обратного квадрата скорости света $c^{-2}$ (точнее, скорости гравитации, при этом обычно ограничиваются первым порядком) и составляется наиболее общее выражение для решения уравнений гравитационного поля и движения материи. Различные теории гравитации при этом предсказывают различные значения коэффициентов — так называемых ППН параметров — в общих выражениях. Это приводит к потенциально наблюдаемым эффектам, экспериментальные ограничения на величину которых приводят к ограничениям на ППН параметры, и соответственно — к ограничениям на теории гравитации, их предсказывающие. Можно сказать, что ППН параметры описывают различия между ньютоновой и описываемой теорией гравитации. ППН формализм применим когда гравитационные поля слабы, а скорости движения формирующих их тел малы по сравнению со скоростью света (точнее, скоростью гравитации) — каноническими примерами применения являются движение Солнечной системы и систем пульсаров в двойных системах.

История

Первая параметризация постньютоновского приближения принадлежит перу Эддингтона (Eddington, 1922). В ней рассматривалось, впрочем, только гравитационное поле в вакууме вокруг сферически-симметричного статического тела. Нордтведт (Nordtvedt, 1968, 1969) расширил формализм до 7 параметров, а Уилл (Will, 1971) ввёл в него описание небесных тел как протяжённых распределений тензора энергии-импульса.

Версии формализма, применяющиеся чаще всего и описанные ниже, базируются на работах Ни (Ni, 1972), Уилла и Нордтведта (Will & Nordtvedt, 1972), Мизнера, Торна и Уилера Гравитация, и Уилла, и имеют 10 параметров.

Бета-дельта вариант (Beta-delta notation)

Десять постньютоновских параметров (ППН параметров) полностью характеризуют поведение подавляющего большинства метрических теорий гравитации в пределе слабого поля. ППН формализм показал себя ценным инструментом для проверки общей теории относительности. В обозначениях Уилла (Will, 1971), Ни (Ni, 1972) и Мизнера, Торна и Уилера (Misner et al., 1973) ППН параметры имеют условно следующее значение:

$\gamma$	Насколько сильная пространственная кривизна в $g_{ij}$ генерируется единицей массы покоя?
$\beta$	Насколько велика нелинейность в $g_{00}$ при сложении гравитационных полей?
$\beta _{1}$	Как много тяготения в $g_{00}$ производится единицей кинетической энергии $\textstyle {\frac {1}{2}}\rho _{0}v^{2}$?
$\beta _{2}$	Как много тяготения в $g_{00}$ производится единицей гравитационной потенциальной энергии $\rho _{0}/U$?
$\beta _{3}$	Как много тяготения в $g_{00}$ производится единицей внутренней энергии тела $\rho _{0}\Pi$?
$\beta _{4}$	Как много тяготения в $g_{00}$ производится единицей давления $p$?
$\zeta$	Разница между проявлением радиальной и трансверсальной кинетической энергией в тяготении в $g_{00}$
$\eta$	Разница между проявлением радиальных и трансверсальных напряжений в тяготении в $g_{00}$
$\Delta _{1}$	Как много увлечения инерциальных систем отсчёта в $g_{0j}$ производится единицей импульса $\rho _{0}v$?
$\Delta _{2}$	Разница между степенью увлечения инерциальных систем отсчёта в радиальном и трансверсальном направлении

$g_{\mu \nu }$ — симметричный метрический тензор 4 на 4, а пространственные индексы $i$ и $j$ пробегают значения от 1 до 3.

В теории Эйнштейна эти параметры соответствуют тому, что (1) для малых скоростей движения тел и их масс восстанавливается ньютоново тяготение, (2) выполняются законы сохранения энергии, массы, импульса и момента импульса, и (3) уравнения теории не зависят от системы отсчёта. В таких обозначениях общая теория относительности имеет ППН параметры

$\gamma =\beta =\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=\beta _{4}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1$ и $\zeta =\eta =0$.

Альфа-дзета вариант (Alpha-zeta notation)

В более современной версии (Will & Nordtvedt, 1972), используемой также в работах Уилла (1981, 2014), применяется другой эквивалентный набор из 10 ППН параметров.

$\gamma =\gamma$,

$\beta =\beta$,

$\alpha _{1}=7\Delta _{1}+\Delta _{2}-4\gamma -4$,

$\alpha _{2}=\Delta _{2}+\zeta -1$,

$\alpha _{3}=4\beta _{1}-2\gamma -2-\zeta$,

$\zeta _{1}=\zeta$,

$\zeta _{2}=2\beta +2\beta _{2}-3\gamma -1$,

$\zeta _{3}=\beta _{3}-1$,

$\zeta _{4}=\beta _{4}-\gamma$,

$\xi$ получается из $3\eta =12\beta -3\gamma -9+10\xi -3\alpha _{1}+2\alpha _{2}-2\zeta _{1}-\zeta _{2}$.

Смысл параметров $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$ и $\alpha _{3}$ при этом — степень проявления эффектов предпочтительной системы отсчёта (эфира). $\zeta _{1}$, $\zeta _{2}$, $\zeta _{3}$, $\zeta _{4}$ и $\alpha _{3}$ измеряют степень нарушения законов сохранения энергии, импульса и момента импульса.

В этих обозначениях ППН параметры ОТО есть

$\gamma =\beta =1$ и $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4}=\xi =0$.

Вид метрики альфа-дзета варианта:

${\begin{matrix}g_{00}=-1+2U-2\beta U^{2}-2\xi \Phi _{W}+(2\gamma +2+\alpha _{3}+\zeta _{1}-2\xi )\Phi _{1}+2(3\gamma -2\beta +1+\zeta _{2}+\xi )\Phi _{2}\\\ +2(1+\zeta _{3})\Phi _{3}+2(3\gamma +3\zeta _{4}-2\xi )\Phi _{4}-(\zeta _{1}-2\xi )A-(\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})w^{2}U\\\ -\alpha _{2}w^{i}w^{j}U_{ij}+(2\alpha _{3}-\alpha _{1})w^{i}V_{i}+O(\varepsilon ^{3})\end{matrix}}$

$g_{0i}=-\textstyle {\frac {1}{2}}(4\gamma +3+\alpha _{1}-\alpha _{2}+\zeta _{1}-2\eta )V_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\alpha _{2}-\zeta _{1}+2\xi )W_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(\alpha _{1}-2\alpha _{2})w^{i}U-\alpha _{2}w^{j}U_{ij}+O(\varepsilon ^{\frac {5}{2}})\;,$

$g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}+O(\varepsilon ^{2})\;$,

где по повторяющимся индексам предполагается суммирование, $\varepsilon ^{2}$ определяется как максимальное в системе значение ньютонова потенциала $U$, квадрата скорости материи или подобных величин (они все имеют один порядок величины), $w^{i}$ — скорость ППН координатной системы относительно выделенной системы покоя, $w^{2}=w^{i}w^{j}\delta _{ij}$ — квадрат этой скорости, а $\delta _{ij}=1$ если $i=j$ и $0$ в противоположном случае — символ Кронекера.

Есть только десять простых метрических потенциалов: $U$, $U_{ij}$, $\Phi _{W}$, $A$, $\Phi _{1}$, $\Phi _{2}$, $\Phi _{3}$, $\Phi _{4}$, $V_{i}$ и $W_{i}$, столько же, как и ППН параметров, что гарантирует единственность ППН решения для каждой теории гравитации. Форма этих потенциалов напоминает гравитационный потенциал ньютоновской теории — они равны определённым интегралам по распределению материи, например,

$U(\mathbf {x} ,t)=\int {\rho _{0} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'.$

Полный список определений метрических потенциалов см. в работах Мизнера, Торна, Уилера (Misner et al., 1973), Уилла (1981, 2014) и др.

Процедура получения ППН параметров из теории гравитации

Примеры анализа можно найти в книге Уилла, 1981. Процесс состоит из девяти стадий:

• Шаг 1: Определение переменных: (a) динамические гравитационные переменные, такие как метрика $g_{\mu \nu }$, гравитационное скалярное $\phi$, векторное $K_{\mu }$ и/или тензорное поле $B_{\mu \nu }$ и т. п.; (b) переменные предпочтительной геометрии, такие как плоская фоновая метрика $\eta _{\mu \nu }$, космологическое время $t$ и т. п.; (c) переменные материальных (негравитационных) полей.
• Шаг 2: Установление космологических граничных условий: предполагая вселенную Фридмана (однородную и изотропную), вводим изотропные координаты в системе покоя Вселенной (полное космологическое решение для этого нужно не всегда). Полученные фоновые космологические поля называем $g_{\mu \nu }^{(0)}={\mbox{diag}}(-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})$, $\phi _{0}$, $K_{\mu }^{(0)}$, $B_{\mu \nu }^{(0)}$.
• Шаг 3: Вводим новые переменные $h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)}$, а если необходимо, то и $\phi -\phi _{0}$, $K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)}$, $B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)}$.
• Шаг 4: Подставляем полученные выражения и тензор энергии-импульса материи (обычно идеальной жидкости) в уравнения гравитационного поля и отбрасываем члены слишком высокого порядка для $h_{\mu \nu }$ и прочих динамических гравитационных переменных.
• Шаг 5: Решаем уравнения для $h_{00}$ с точностью до $O(2)$. Предполагая эту величину стремящейся к нулю вдали от системы, получаем форму $h_{00}=2\alpha U$, где $U$ — гравитационный потенциал Ньютона, а $\alpha$ может быть сложной функцией, включающей гравитационную «постоянную» $G$. Ньютонова метрика имеет форму $g_{00}=-c_{0}+2\alpha U$, $g_{0j}=0$, $g_{ij}=\delta _{ij}c_{1}$. Переходим к единицам, в которых гравитационная «постоянная», измеренная сейчас вдали от гравитирующей материи, равна единице $G_{\mbox{today}}=\alpha /c_{0}c_{1}=1$.
• Шаг 6: Из линеаризованной версии полевых уравнений получаем $h_{ij}$ с точностью до $O(2)$ и $h_{0j}$ с точностью до $O(3)$.
• Шаг 7: Находим $h_{00}$ с точностью до $O(4)$. Это самый сложный этап, так как уравнения тут становятся нелинейными. Тензор энергии-импульса также нужно разложить до нужного порядка.
• Шаг 8: Переходим в стандартную ППН калибровку.
• Шаг 9: Сравнивая результирующую метрику $g_{\mu \nu }$ с известным ППН выражением, определяем ППН параметры теории.

Сравнение теорий гравитации

Основная статья: Альтернативные теории гравитации § ППН параметры для различных теорий

Основной источник: Уилл (1981, 2014)

Таблица, представляющая ППН параметры 23 теорий гравитации, находится в статье «Альтернативные теории гравитации».

Большинство метрических теорий можно разделить по нескольким категориям. Скалярные теории гравитации включают конформно-плоские теории и стратифицированные теории с пространственными сечениями, строго ортогональными временному направлению.

В конформно-плоских теориях, например, теориях Нордстрёма, метрика равна $\mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta }}$ и поэтому $\gamma =-1$, что абсолютно несовместимо с наблюдениями. В стратифицированных теориях, например, теории Йилмаза, метрика равна $\mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta }}$ и, следовательно, $\alpha _{1}=-4(\gamma +1)$, что опять-таки противоречит наблюдениям.

Другой класс теорий — квазилинейные теории типа теории Уайтхэда. Для них $\xi =\beta$. Так как относительные амплитуды гармоник земных приливов зависят от $\xi$ и $\alpha _{2}$, то их измерения позволяют отклонить все подобные теории, исключая такое большое значение $\xi$.

Ещё один класс теорий — биметрические теории. Для них $\alpha _{2}$ не равно 0. Из данных по прецессии оси вращения миллисекундных пульсаров мы знаем, что $|\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9}$, и это эффективно отклоняет биметрические теории.

Далее идут скалярно-тензорные теории, например, теория Бранса — Дике. Для таких теорий в первом приближении $\gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$. Предел $\gamma -1<2.3\times 10^{-5}$ даёт очень малое $1/\omega$, которое характеризует степень «скалярности» гравитационного взаимодействия, а по мере уточнения экспериментальных данных предел на $\omega$ всё продолжает увеличиваться, так что такие теории становятся всё менее вероятными.

Последний класс теорий — векторно-тензорные теории. Для них гравитационная «постоянная» изменяется со временем и $\alpha _{2}$ не равно 0. Лазерная локация Луны сильно ограничивает вариацию гравитационной «постоянной» и $|\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9}$, так что эти теории также не выглядят надёжными.

Некоторые метрические теории не попадают в выделенные категории, но имеют подобные проблемы.

Экспериментальные ограничения на ППН параметры

Значения взяты из обзора Уилла, 2014

Параметр	Границы	Эффекты	Эксперимент
$\gamma -1$	$2.3\cdot 10^{-5}$	Эффект Шапиро, Гравитационное отклонение света	Траектория «Кассини — Гюйгенса»
$\beta -1$	$8\cdot 10^{-5}$	Эффект Нордтведта, Сдвиг перигелия	Лазерная локация Луны, движения планет в Солнечной системе
$\xi$	$4\cdot 10^{-9}$	Прецессия оси вращения	Миллисекундные пульсары
$\alpha _{1}$	$4\cdot 10^{-5}$	Сдвиг плоскости орбиты	Лазерная локация Луны, пульсар J1738+0333
$\alpha _{2}$	$2\cdot 10^{-9}$	Прецессия оси вращения	Миллисекундные пульсары
$\alpha _{3}$	$4\cdot 10^{-20}$	Самоускорение	Статистика замедления пульсаров
$\zeta _{1}$	$0.02$	-	Комбинированный предел разных экспериментов
$\zeta _{2}$	$4\cdot 10^{-5}$	Ускорение двойных пульсаров	PSR 1913+16
$\zeta _{3}$	$10^{-8}$	Третий закон Ньютона	Ускорение Луны
$\zeta _{4}$	$0.006$‡	-	Не является независимым

‡ По $6\zeta _{4}=3\alpha _{3}+2\zeta _{1}-3\zeta _{3}$ из работ Уилла (1976, 2014). Теоретически в некоторых теориях гравитации возможен обход этого ограничения, тогда применим более слабый предел $|\zeta _{4}|<0.4$ из статьи Ни (1972).

Литература

Основная

• Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике: Пер. с англ. — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 296 с. — Перевод Will, C. M. Theory and Experiment in Gravitational Physics. — Cambridge University Press, 1981, 1993. — ISBN 0-521-43973-6.
• Will C. M. The Confrontation between General Relativity and Experiment (англ.) // Living Reviews in Relativity. — 2014. — Vol. 17, no. 4. — doi:10.12942/lrr-2014-4. — . — arXiv:1403.7377. Архивировано 19 марта 2015 года.

Дополнительная

• Мизнер, Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. В 3-х тт. — М.: Мир, 1977. — Перевод Misner, C. W., Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. Gravitation. — W. H. Freeman and Co., 1973.
• Эддингтон А. С. Теория относительности. — Л.-М.: ГТТИ, 1934. — Перевод Eddington, A. S. The Mathematical Theory of Relativity. — Cambridge University Press, 1922.
• Ni W.-T. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity.IV. a Compendium of Metric Theories of Gravity and Their POST Newtonian Limits (англ.) // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1972. — Vol. 176. — P. 769. — doi:10.1086/151677. — .
• Nordtvedt K. Equivalence Principle for Massive Bodies. II. Theory (англ.) // Physical Review. — 1968. — Vol. 169. — P. 1017—1025. — doi:10.1103/PhysRev.169.1017. — .
• Nordtvedt K. Equivalence Principle for Massive Bodies Including Rotational Energy and Radiation Pressure (англ.) // Physical Review. — 1969. — Vol. 180. — P. 1293—1298. — doi:10.1103/PhysRev.180.1293. — .
• Will C. M. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity. II. Parametrized Post-Newtonian Hydrodynamics, and the Nordtvedt Effect (англ.) // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1971. — Vol. 163. — P. 611. — doi:10.1086/150804. — .
• Will C. M. Active mass in relativistic gravity - Theoretical interpretation of the Kreuzer experiment (англ.) // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1976. — Vol. 204. — P. 224—234. — doi:10.1086/154164. — .
• Will C. M., Nordtvedt Jr., K. Conservation Laws and Preferred Frames in Relativistic Gravity. I. Preferred-Frame Theories and an Extended PPN Formalism (англ.) // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1972. — Vol. 177. — P. 757. — doi:10.1086/151754. — .

См. также

• Линеаризованная гравитация
• Проверка общей теории относительности
• Параметры Пескина — Такэути — аналог ППН формализма в электрослабой теории