Параллелизуемое многообразие

Параллелизуемое многообразие — многообразие $M$ размерности $n$, допускающее поле реперов $e=(e_{1},e_{2},...,e_{n})$, то есть $n$ линейно независимых в каждой точке векторных полей $e_{i}$.

Поле $e$ задает изоморфизм касательного расслоения $TM\to M$ на тривиальное расслоение $\mathbb {R} ^{n}\times M\to M$, сопоставляющий касательному вектору $v\in TM$ его координаты относительно репера $e$ и его начало. Поэтому параллелизуемое многообразие можно также определить как многообразие, имеющее тривиальное касательное расслоение.

Примеры

• открытые подмногообразия евклидова пространства,
• все трёхмерные ориентируемые многообразия,
• произвольные группы Ли,
• многообразие реперов произвольного многообразия.
• Сферы $S^{n}$ являются параллелизуемыми только при $n=1,3,7$.

Свойства

• Для параллелизуемости 4-мерного многообразия необходимо и достаточно обращение в нуль его второго характеристического класса Штифеля — Уитни.
• В общем случае равенство нулю всех характеристических классов Штифеля — Уитни, Чжэня и Понтрягина является необходимым, но недостаточным условием для того, чтобы многообразие $M$ было параллелизуемо.