Особенность (комплексный анализ)

Особенность или особая точка голоморфной функции f — точка комплексной плоскости, в которой эта функция не определена, её предел бесконечен либо предела не существует вовсе.

Для многозначных аналитических функций к особенностям причисляют также точки ветвлений.

Возможны две классификации особых точек. Во-первых, допустима классификация по теоретико-множественным свойствам их множества:

Изолированная особая точка — точка, для которой существует некоторая проколотая окрестность, в которой эта функция аналитична.
Неизолированная особая точка — особая точка, не являющаяся изолированной. В этом случае можно говорить о так называемом особом множестве.

Виды особенностей

В свою очередь, изолированные особенности можно разделить на три вида:

Устранимая особая точка — точка, в которой функция не определена, но предел функции в которой конечен, соответственно, в этой точке функцию можно доопределить значением этого предела и продолжить её до функции, в этой точке аналитической.
Полюс — точка, в которой предел функции бесконечен. При рассмотрении функции как отображения не в комплексную плоскость, а в сферу Римана, полюс не следует считать какой-либо особой точкой; см. мероморфная функция.
Существенно особая точка — точка, в которой предел функции не существует.

Особенности на римановых поверхностях

Особенности также можно рассматривать у голоморфных функций, определённых на римановых поверхностях. В частности, если позволить переменной z принимать значения не только на комплексной плоскости, а на сфере Римана, то особенность в бесконечности для функции f определяется по степени «особенности» точки 0 для функции $F(w)=f\left({\frac {1}{w}}\right)$ .

См. также