Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера

Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+U(x)\psi (x)=E\psi (x),\qquad (1)$

где $\hbar$ — постоянная Планка, $m$ — масса частицы, $U(x)$ — потенциальная энергия, $E$ — полная энергия, $\psi (x)$ — волновая функция. Для полной постановки задачи о нахождении решения $(1)$ надо задать также граничные условия, которые представляются в общем виде для интервала $[a,b]$

$\alpha _{1}\psi (a)+\beta _{1}{\frac {d\psi (a)}{dx}}=\gamma _{1},\qquad (2)$ $\alpha _{2}\psi (b)+\beta _{2}{\frac {d\psi (b)}{dx}}=\gamma _{2},\qquad (3)$

где $\alpha _{1},\alpha _{2},\beta _{1},\beta _{2},\gamma _{1},\gamma _{2}$ — константы. Квантовая механика рассматривает решения уравнения $(1)$ с граничными условиями $(2)$ и $(3)$.

Общие свойства

Исходя из физического смысла волновая функция должна быть однозначной и непрерывной функцией своих координат. Условие нормировки появляется из интерпретации квадрата волновой функции как вероятности,

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=1.\qquad (0a)$

Отсюда следует, в частности, что волновая функция должна достаточно быстро спадать как функция $x$. В одномерном случае, если волновая функция $\psi (x)\sim 1/x^{\alpha }$ при $x\longrightarrow +\infty$, то показатель степени в соответствии с выражением

$\int ^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=\int ^{+\infty }1/x^{2\alpha }dx=1/x^{2\alpha -1}\mid ^{+\infty }\longrightarrow 0,\qquad (0b)$

должен удовлетворять неравенству $\alpha >1/2.$

Интегрирование уравнения $(1)$ в малой окрестности точки $a$ даёт дополнительные условия на производную волновой функции

$\int _{a-\varepsilon }^{a+\varepsilon }{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}dx={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int _{a-\varepsilon }^{a+\varepsilon }(U(x)-E)\psi (x)dx,\qquad (0c)$

из которого в пределе $\varepsilon \longrightarrow 0$ следует

$\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a+0}-\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a-0}=0,\qquad (0d)$

если потенциальная энергия имеет в точке $a$ разрывы первого рода (конечные скачки). Если же в точке a имеется разрыв второго рода, например потенциальная энергия описывается дельта-функцией ($U(x)=-G\delta (x-a)$), то условие $(0c)$ принимает вид

$\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a+0}-\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a-0}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(-G)\psi (a).\qquad (0e)$

Если энергетический спектр невырожден, то существует только одна волновая функция, являющаяся решением уравнения Шрёдингера для данной энергии, причём она определена с точностью до фазы. В случае, когда потенциал симметричен, волновые функции будут либо чётными, либо нечётными и чётность волновых функций чередуется.

Точные аналитические решения

В общем виде решения уравнения $(1)$, с граничными условиями $(2)$ и $(3)$ не существует, но при некотором выборе потенциальной энергии можно найти точные решения. Они играют важную роль в построении аналитических приближенных решений уравнения $(1)$.

Решение для свободной частицы — плоские волны

В свободном пространстве, где отсутствуют потенциалы уравнение $(1)$ принимает особенно простой вид

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}=E\psi (x).\qquad (4)$

Частными решениями этого уравнения являются функции

${{\psi }_{E}}\left(x\right)=C{{e}^{\pm {\sqrt {2mE}}x/\hbar }}.\quad \quad (4a)$

Здесь энергия $E$ может принимать все значения выше нуля, поэтому говорят, что собственное значение принадлежит непрерывному спектру. Для функций (4a) интеграл (0а), определяющий условие нормировки, расходится. В этом случае нормировочную константу $C$ следует определить из условия

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{dx}\psi _{E}^{*}\left(x\right){{\psi }_{{E}'}}\left(x\right)=\delta \left(E-{E}'\right),$

где $\delta \left(x\right)$ - дельта функция Дирака. В результате получаем $C=1/{\sqrt {2\pi \hbar {\text{v}}}}$, где  ${\text{v}}={\sqrt {2E/m}}$ - скорость частицы.

Для уравнения (4) общим решением является суперпозиция плоских волн

$\psi (x)=C_{1}e^{i{\sqrt {2mE}}x/\hbar }+C_{2}e^{-i{\sqrt {2mE}}x/\hbar }.\qquad (5)$

Решение для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками

Если поместить частицу в потенциальную яму, то непрерывный спектр энергий становится дискретным. Для уравнения $(1)$ с потенциальной энергией $U(x)$, которая равна нулю в интервале $(0,a)$ и становится бесконечной в точках $0$ и $a$. На этом интервале уравнение Шрёдингера совпадает с $(4)$. Граничные условия $(2)$, $(3)$ для волновой функции запишутся в виде

$\psi (0)=0,\qquad (6)$ $\psi (a)=0.\qquad (7)$

Ищем решения в виде $A\sin {({\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}x+\delta )}$. С учётом граничных условий получаем для собственных значений энергии $E_{n}$

$E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}n^{2}\qquad (8)$

и собственных функций с учётом нормировки

$\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin {{\frac {\pi n}{a}}x}.\qquad (9)$

Численные решения

Сколько-нибудь сложный потенциал в уравнении $(1)$ уже не позволяет найти аналитическое решение (вернее, это решение можно найти лишь для задачи об одной частице, движущейся в поле другой), и поэтому требуется привлекать численные методы для решения уравнения Шрёдингера. Одним из самых простых и доступных из них является метод конечных разностей, в котором уравнение $(1)$ заменяется уравнением в конечных разностях на выбранной сетке с узлами в точках $x_{n}$, а именно, заменяя вторую производную по формуле

${\frac {d^{2}y(x)}{dx^{2}}}={\frac {y_{n-1}-2y_{n}+y_{n+1}}{h^{2}}},\qquad (10)$

где $h$ — шаг дискретизации, $n$ — номер узла сетки, получим

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {y_{n-1}-2y_{n}+y_{n+1}}{h^{2}}}+U_{n}y_{n}=Ey_{n},\qquad (11)$

где $U_{n}$ — значение потенциальной энергии $U(x)$ на узлах сетки. Пусть $a$ некоторый характерных масштаб потенциала, тогда уравнение $(11)$ можно записать в безразмерном виде

$-y_{n-1}+(2+h^{2}{\frac {2ma^{2}U_{n}}{\hbar ^{2}}})y_{n}-y_{n+1}=h^{2}{\frac {2ma^{2}E}{\hbar ^{2}}}y_{n}.\qquad (12)$

Если обозначить безразмерные величины потенциальной энергии $v_{n}={\frac {2ma^{2}U_{n}}{\hbar ^{2}}}$ и собственные значения $e=h^{2}{\frac {2ma^{2}E}{\hbar ^{2}}}$, то уравнение $(12)$ упростится

$-y_{n-1}+(2+h^{2}v_{n}-e)y_{n}-y_{n+1}=0.\qquad (13)$

Под последним выражением надо понимать систему уравнений для всех возможных индексов $n$.

Литература

• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М. Мир, 1990. — 720с. ISBN 5-03-001311-3
• Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. Изд-во МГУ, 1983.
• Калиткин Н. Н. Численные методы. М., Наука, 1978.

См. также

• Яма с бесконечными стенками
• Треугольная квантовая яма