Квантовая яма с бесконечными стенками

Ква́нтовая я́ма с бесконе́чными сте́нками (Бесконечная прямоугольная потенциальная яма) — область пространства размером порядка длины волны де Бройля рассматриваемой частицы (хотя бы в одном направлении), вне которой потенциальная энергия $U$ бесконечна. Иногда данную область называют «ящиком» (англ. particle in a box).

Для демонстрации основных черт поведения частицы в яме удобны такие профили потенциальной энергии, при которых движение происходит независимо по трём декартовым координатам и переменные в уравнении Шрёдингера разделяются. Часто анализируется прямоугольная область по всем измерениям (прямоугольный «ящик»), а потенциальная энергия в нём полагается нулевой.

Могут быть рассмотрены системы с ограничением движения частицы по одной координате (собственно яма), по двум (квантовый провод) или по трём (квантовая точка). При ограничении по одной координате «ящик» представляет собой плоскопараллельный слой, а обращение $U$ в бесконечность математически отражают в граничных условиях, считая, что волновые функции равны нулю на концах соответствующего отрезка. При ограничении по нескольким координатам на границах ставятся граничные условия Дирихле.

Одномерная потенциальная яма с бесконечными стенками

Потенциал одномерной потенциальной ямы с бесконечными стенками имеет вид

$U(x)={\begin{cases}0,&x\in (-{\frac {a}{2}},{\frac {a}{2}}),\\\infty ,&x\notin (-{\frac {a}{2}},{\frac {a}{2}})\end{cases}}$

Стационарное уравнение Шрёдингера на интервале $\left(-{\frac {a}{2}},{\frac {a}{2}}\right)$

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)=E\Psi (x).$

С учётом обозначения $k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}$, оно примет вид:

$\Psi ''(x)+k^{2}\Psi (x)=0.$

Общее решение удобно представить в виде линейной оболочки чётных и нечётных функций:

$\Psi (x)=C^{+}\cos kx+C^{-}\sin kx.$

Граничные значения имеют вид:

$\Psi \left(-{\frac {a}{2}}\right)=\Psi \left({\frac {a}{2}}\right)=0.$

Они приводят к однородной системе линейных уравнений:

${\begin{cases}C^{+}\cos {\frac {ka}{2}}+C^{-}\sin {\frac {ka}{2}}=0,\\C^{+}\cos {\frac {ka}{2}}-C^{-}\sin {\frac {ka}{2}}=0,\end{cases}}$

которая имеет нетривиальные решения при условии равенства нулю её определителя:

$-2\cos {\frac {ka}{2}}\sin {\frac {ka}{2}}=0,$

что после тригонометрических преобразований принимает вид:

$\sin ka=0.$

Корни этого уравнения имеют вид

$k_{n}={\frac {\pi n}{a}},\qquad n\in \mathbb {Z} _{+}.$

Подставляя в систему, имеем:

$C_{n}^{-}=0,\qquad n=2n_{0}+1,\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+},$

$C_{n}^{+}=0,\qquad n=2n_{0},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+}.$

Таким образом, решения распадаются на две серии — чётных и нечётных решений:

$\Psi _{n_{0}}^{+}(x)=C_{2n_{0}+1}^{+}\cos {\frac {(2n_{0}+1)\pi x}{a}},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+},$

$\Psi _{n_{0}}^{-}(x)=C_{2n_{0}}^{-}\sin {\frac {2n_{0}\pi x}{a}},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+}.$

Тот факт, что решения разбиваются на чётные и нечётные связан с тем, что потенциал сам по себе является чётной функцией. С учётом нормировки

$\int \limits _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}\left(\Psi _{n_{0}}^{\pm }(x)\right)^{2}dx=1,$

получим явный вид нормировочных множителей:

$C_{2n_{0}+1}^{+}=C_{2n_{0}}^{-}={\sqrt {\frac {2}{a}}}.$

В результате получим собственные функции гамильтониана:

$\Psi _{n_{0}}^{+}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\cos {\frac {(2n_{0}+1)\pi x}{a}},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+},$

$\Psi _{n_{0}}^{-}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin {\frac {2n_{0}\pi x}{a}},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+},$

с соответствующим энергетическим спектром:

$E_{n_{0}}^{+}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}(2n_{0}+1)^{2}}{2ma^{2}}}$

$E_{n_{0}}^{-}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}(2n_{0})^{2}}{2ma^{2}}}$

Литература

• Бом Д. Квантовая теория. — Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1965.
• Флюгге З. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.