Обсуждение:Процесс Грама ― Шмидта

Замена

Правками от 19 мая 2010 я заменил статью на значительно дополненный вариант. Дополнения в основном делались на основе английской статьи (творческий перевод) и собственного понимания (объяснения «на пальцах»). Я надеюсь, что эти правки сделают описание доступным гораздо более широкому кругу читателей. sergey_feo 18:20, 19 мая 2010 (UTC)

• да, спасибо за векторную геометрическую интерпретацию, с ней процесс прост и понятен. Но формульное описание метода можно еще упростить, и не писать пугающего вектора под названием $Proj(a,b)$, по мне, лучше явно писать $(a,e_{b})\cdot {\overrightarrow {e_{b}}}$, чем возвращаться и вспоминать что такое "прожектор". И сам "прожектор" писать по другому $\mathbf {proj} _{\mathbf {b} }\,\mathbf {a} =\langle \mathbf {a} ,\mathbf {e_{b}} \rangle \cdot {\overrightarrow {e_{b}}}$ - что означает проекцию, $\mathbf {a}$ на $\mathbf {b}$, записанную в виде скалярного произведения $\mathbf {a}$ к $\mathbf {b}$, вдоль нормированного_вектора($\mathbf {b}$) $={\overrightarrow {e_{b}}}$ --СтаниславС 07:19, 20 августа 2014 (UTC)

Ошибка?

Чтоб вам всем пусто было. У вас в алгоритме Шмидта принципиальная ошибка!!!!109.252.139.11 19:35, 28 февраля 2012 (UTC)

Если так, то надо поправить. Где конкретно ошибка? Основная формула, приведённая в статье на 14 августа 2012, выглядит так:

$\mathbf {b} _{N}=\mathbf {a} _{N}-\displaystyle \sum _{j=1}^{N-1}\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{j}}\,\mathbf {a} _{N}$,

где

$\mathbf {proj} _{\mathbf {b} }\,\mathbf {a} ={\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle \over \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle }\mathbf {b} ,$

В книге А.И. Кострикина, Ю.И. Манина «Линейная алгебра и геометрия» (номер издания, к сожалению, не знаю) на странице 112 есть формула

$e_{i}=e'_{i}-\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}y_{j}e_{j},y_{j}\in {\mathcal {K}}$,

где

$y_{j}={\frac {g(e'_{i},e_{j})}{g(e_{j},e_{j})}}$,

e' — исходный базис, e — ортогональный базис, g — скалярное произведение.

Вроде похоже. Хотя по-хорошему надо проверить на чём-нибудь вроде Scilab'а. sergey_feo 16:27, 14 августа 2012 (UTC)

• Согласен с 109.252.139.11, определение "прожектора" неочевидно и будет постоянно приводить к появлению ошибок. СтаниславС 07:19, 20 августа 2014 (UTC)

Вопросы

Про вопросительные знаки при словах «перпендикуляр» и «гиперплоскость».

Слово перпендикуляр используется в статье там, где хотелось написать «ортогональ», но такого термина нет :-). Термин «перпендикуляр» относится к понятию перпендикулярности, а в статье речь идёт об ортогональности. Насколько я понимаю, в большинстве случаев это одно и то же, поэтому большой ошибки в путании этих понятий нет. Но всё же в общем случае перпендикулярность и ортогональность вроде бы не одно и то же. Перпендикулярность векторов — это, как я понимаю, когда угол 90 градусов. А ортогональность векторов — когда скалярное произведение равно нулю. В обычном случае скалярное произведение векторов при угле между ними 90 градусов равно нулю и перпендикулярность означает то же, что ортогональность. Однако вроде бы теоретически возможны необычные варианты скалярного произведения, и тогда перпендикулярность и ортогональность различаются.

Термин «перпендикуляр» знаком нам со школы и при чтении не вызывает проблем. Если заменить его на фразы вроде «ортогональная проекция» — это будет загромождать текст и тем самым затруднять чтение.

Может быть, подойдёт термин «нормаль»? Но он может путаться у читающего с термином «ортонормирование»: корни одинаковые, а смысл абсолютно разный. И не совсем ясно: нормаль — это перпендикуляр или «ортогональ» (в русскоязычной статье о нормали оба варианта, в англоязычной — перпендикуляр).

Так что не знаю, что делать с перпендикуляром: нарушает он математическую строгость изложения или нет? И если да, то чем его заменить?

Про гиперплоскость. Там, где в англоязычном разделе говорят об ортогональной проекции на подпространство, я использую фразы об ортогональной проекции на гиперплоскость или перпендикуляре к гиперплоскости. На мой взгляд, это должно облегчить чтение. Когда я (не очень разбирающийся в математике человек) прочитываю фразу «ортогональная проекция на подпространство», то воображение сначала рисует мне подпространство кубом. Потому что когда речь о пространстве — первые возникающие образы связаны с нашим обычным трёхмерным пространством. Дальше ортогональная проекция на это подпространство. Воображение хочет нарисовать перпендикуляр к кубу — но как это сделать? Перпендикуляр к одной из граней — вроде бы не то, нужна перпендикулярность сразу ко всему кубу. Поэтому в воображении получается куб и прямая, входящая под углом куда-то внутрь куба. И возникает ощущение «возникшая картинка — ерунда, не понял». Надо тратить время и пытаться как-то переосмыслить, перестроить то, что поначалу возникло в воображении. С фразой «перпендикуляр к гиперплоскости» текст получается имхо понятнее. Сначала в воображении читателя возникает не гипер, а просто плоскость, и перпендикуляр к ней. Всё просто и понятно. А приставка «гипер» оставляет в уме след, который можно выразить словами «ну а в более многомерном варианте — по аналогии». Вопрос к специалистам: корректно заменять в контексте статьи термин «подпространство» на «гиперплоскость» или нет? Я не уверен, поэтому оставил в тексте статьи знак вопроса.

Про то, что «матрица перехода от $\mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{j}$ к $\mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e} _{j}$ и множество векторов $\mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e} _{j}$ определяются однозначно, если принять, что диагональные элементы матрицы перехода положительны». Эта фраза — переформулировка фразы из старого варианта статьи. Раньше это звучало так: «Процесс Грама ― Шмидта ― наиболее известный алгоритм ортогонализации, при котором по линейно независимой системе $a_{1},\;a_{2},\;\ldots ,\;a_{k}$ строится ортогональная система $b_{1},\;b_{2},\;\ldots ,\;b_{k}$ такая, что каждый вектор $b_{i}$ линейно выражается через $a_{1},\;a_{2},\;\ldots ,\;a_{i}$, то есть матрица перехода от $\{a_{i}\}$ к $\{b_{i}\}$ ― верхнетреугольная матрица. При этом можно добиться того, чтобы система $\{b_{i}\}$ была ортонормированной и чтобы диагональные элементы матрицы перехода были положительны; этими условиями система $\{b_{i}\}$ и матрица перехода определяются однозначно». Я не уверен, что при перефразировании не исказил математический смысл.

Про то, что «количество векторов, выдаваемых алгоритмом, будет равно количеству линейно независимых векторов, которые можно выделить среди входных векторов». В англоязычном разделе этому соответствует фраза «the number of vectors output by the algorithm will then be the dimension of the space spanned by the original inputs». Здесь я тоже не уверен, что при перефразировании не исказил математический смысл.

sergey_feo 13:38, 30 мая 2010 (UTC)