Ортогональная система

Ортогона́льная систе́ма элементов векторного пространства со скалярным произведением — такое подмножество векторов $\left\{\varphi _{i}\right\}\subset H$ , что любые различные два из них ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю:

(\varphi _{i},\varphi _{j})=0

.

Ортогональная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента ${\vec {a}}$ может быть вычислено по формулам: ${\vec {a}}=\sum _{k}\alpha _{i}\varphi _{i}$ , где $\alpha _{i}={\frac {({\vec {a}},\varphi _{i})}{(\varphi _{i},\varphi _{i})}}$ .

Случай, когда норма всех элементов $||\varphi _{i}||=1$ , называется ортонормированной системой.

Ортогонализация

По любой линейно независимой системе можно построить ортонормированную систему, применив процесс ортогонализации Грама ― Шмидта.

Любая полная линейно независимая система в конечномерном пространстве является базисом. От простого базиса, следовательно, можно перейти к ортонормированному базису.

Ортогональное разложение

При разложении векторов векторного пространства по ортонормированному базису упрощается вычисление скалярного произведения: $({\vec {a}},{\vec {b}})=\sum _{k}\alpha _{k}\beta _{k}$ , где ${\vec {a}}=\sum _{k}\alpha _{k}\varphi _{k}$ и ${\vec {b}}=\sum _{k}\beta _{k}\varphi _{k}$ .

См. также