Обобщённый потенциал

Обобщённый потенциал — понятие классической механики, применяемое для удобного вычисления обобщённых сил, зависящих от обобщённых скоростей.

Формулировка

Рассмотрим механическую систему с $s$ степенями свободы, с кинетической энергией $T$ и обобщёнными силами $Q_{m}$. Здесь всюду $m=1,2,...,s$. Рассмотрим выражение для потенциальной энергии в виде функции $V=V(q_{1},q_{2},...,q_{s},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{s},t)$. Потребуем, чтобы уравнения Лагранжа

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{m}}}=Q_{m}$,

имели вид

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}=0$, где $L=T-V$, $V$ - обобщённый потенциал.

Обобщённым потенциалом называется функция $V$, удовлетворяющая уравнению

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial V}{\partial q_{m}}}=Q_{m}$,

Найдём зависимость функции $V$ от обобщённых скоростей.

$Q_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial V}{\partial q_{m}}}=\sum _{\mu =1}^{s}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial {\dot {q}}_{m}\partial {\dot {q}}_{\mu }}}{\ddot {q}}_{\mu }+\sum _{\mu =1}^{s}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial {\dot {q}}_{m}\partial q_{\mu }}}{\dot {q}}_{\mu }+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial {\dot {q}}_{m}\partial t}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{m}}}$

Так как обобщённые силы явно от обобщённых ускорений не зависят, то обобщённый потенциал может быть только линейной функцией от обобщённых скоростей:

$V=\Pi (q_{m},t)+\sum _{\mu =1}^{s}\Pi _{\mu }(q_{m},t){\dot {q}}_{\mu }$

Далее:

$Q_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial V}{\partial q_{m}}}={\frac {d\Pi _{m}}{dt}}-{\frac {\partial }{\partial q_{m}}}\left[\sum _{\mu =1}^{s}\Pi _{\mu }{\dot {q}}_{\mu }+\Pi \right]=\sum _{\mu =1}^{s}{\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial q_{\mu }}}{\dot {q}}_{\mu }+{\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial t}}-\sum _{\mu =1}^{s}{\frac {\partial \Pi _{\mu }}{\partial q_{m}}}{\dot {q}}_{\mu }-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m}}}=-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m}}}+\sum _{\mu =1}^{s}\left({\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial q_{\mu }}}-{\frac {\partial \Pi _{\mu }}{\partial q_{m}}}\right)+{\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial t}}$.

Таким образом:

$Q_{m}=-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m}}}+\sum _{\mu =1}^{s}\gamma _{m\mu }{\dot {q}}_{\mu }+{\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial t}}$, где $\gamma _{m\mu }={\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial q_{\mu }}}-{\frac {\partial \Pi _{\mu }}{\partial q_{m}}}$

В случае, если функции $\Pi _{m}$ не зависят явно от времени, то обобщённые силы складываются из потенциальных сил $-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m}}}$ и гироскопических сил $\sum _{\mu =1}^{s}\gamma _{m\mu }{\dot {q}}_{\mu }$.

Пример

Рассмотрим силу Лоренца, действующую на точечный электрический заряд в электромагнитном поле: $F=e\left[E+{\frac {v}{c}}\times B\right]$, где $e$ - электрический заряд, $v$ - скорость заряда, $E$ - напряжённость электрического поля, $B$ - индукция магнитного поля, $c$ - скорость света. Обобщённый потенциал для силы Лоренца можно ввести формулой: $V=e\phi -{\frac {e}{c}}vA=e\phi -{\frac {e}{c}}\left({\dot {x}}A_{x}+{\dot {y}}A_{y}+{\dot {z}}A_{z}\right)$, где $\phi$ - скалярный потенциал, $A$ - векторный потенциал

Литература

• Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1971. — 264 с.