Скалярный потенциал

Скаля́рный потенциа́л векторного поля $\mathbf {A}$ (чаще просто потенциал векторного поля) — это скалярная функция $\phi$ такая, что во всех точках области определения поля

$\mathbf {A} =\operatorname {grad} \,\phi ,$

где $\operatorname {grad} \phi$ обозначает градиент $\phi$. В физике обычно потенциалом называют величину, противоположную по знаку (потенциал силы, потенциал электрического поля).

Потенциальные поля

Сечение двумерной плоскостью гравитационного потенциала создаваемого однородной сферой. Окружность образованная совокупностью точек перегиба одновременно соответствует кривой пересечения сферы и секущей плоскости.

Поле называется потенциальным, если для него существует скалярный потенциал. Для потенциального поля криволинейный интеграл между двумя точками:

$\phi (\mathbf {r} )=\int \limits _{C}\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int \limits _{a}^{b}\mathbf {A} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {\dot {r}} (t)\,dt$

не зависит от пути интегрирования $C=\left\{\mathbf {r} (t)|t\in [a,b]\right\}$, соединяющего эти точки. Это равносильно тому, что интеграл по любому замкнутому контуру $C$ равен нулю:

$\oint \limits _{C}\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot \,\mathbf {dr} =0$

В физических терминах это означает, что механическая работа по перемещению пробного тела в силовом потенциальном поле не зависит от траектории перемещения, а только от положения начальной и конечной точек траектории.

Непрерывное векторное поле в односвязной области трёхмерного пространства потенциально тогда и только тогда, когда оно безвихревое:

$\mathbf {A} =\operatorname {grad} \,\phi \Leftrightarrow \operatorname {rot} \,\mathbf {A} =0$

Обобщением этой теоремы на случай произвольного конечномерного пространства является лемма Пуанкаре. Для таких пространств существует изоморфизм между векторными полями $\mathbf {A}$ и 1-формами $\omega _{\mathbf {A} }$, при этом вопрос о существовании потенциала сводится к вопросу об обращении внешнего дифференцирования. Лемма Пуанкаре утверждает, что любая замкнутая форма в односвязной области конечномерного пространства точна.

Заметим, что в общем случае неодносвязного пространства условия замкнутости недостаточно. Легко проверить, что поле на плоскости

$\mathbf {A} =\left({\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\right)$

является безвихревым в любой односвязной области, не содержащей точку $(0,0)$, однако

$\int \limits _{C}\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot \,\mathbf {dr} =2\pi$

для любого контура $C$, один раз обходящего вокруг начала координат против часовой стрелки.

Ньютонов потенциал

Основная статья: Ньютонов потенциал

Из любого векторного поля в $\mathbb {R} ^{3}$ можно выделить его потенциальную составляющую. Соответствующий ей потенциал можно записать в явном виде, не производя разложение самого поля. Он определяется интегралом, называющимся ньютоновым потенциалом:

$\phi (\mathbf {r} _{0})={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\operatorname {div} \,\mathbf {A} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}dV$

При этом дивергенция поля должна убывать на бесконечности быстрее, чем ${\frac {1}{r^{2}}}$. В случае безвихревого поля этот интеграл даёт скалярный потенциал поля.

Дивергенцию $\operatorname {div} \,\mathbf {A}$ можно отождествить с плотностью зарядов $\rho (\mathbf {r} )$. В частности, для поля

$\mathbf {A} =-{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}$

получаем обычную формулу для ньютонова гравитационного потенциала точечной массы, расположенной в начале координат:

$\phi (\mathbf {r} _{0})=\int \limits _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\delta (\mathbf {r} )}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}dV={\frac {1}{r}}$

где $\delta (\mathbf {r} )$ — трёхмерная дельта-функция Дирака.

См. также

• Векторный потенциал
• Теорема разложения Гельмгольца