Неравенство Чебышёва для сумм

Неравенство Чебышёва для сумм, носящее имя Пафнутия Львовича Чебышёва, утверждает, что если

и

то

Аналогично, если

и

то

Доказательство

править

Неравенство Чебышёва для сумм легко выводится из перестановочного неравенства:

Предположим, что

 

и

 

В виду перестановочного неравенства выражение

 

является максимально возможным значением скалярного произведения рассматриваемых последовательностей. Суммируя неравенства

 
 
 
 
 

получаем

 

или, разделив на  :

 

Непрерывный случай

править

Существует также непрерывный аналог неравенства Чебышёва для сумм:

Если f(x) и g(x) — это вещественные интегрируемые на [0,1] функции, возрастающие или убывающие одновременно, то