Неравенство Чебышёва

В Википедии существует статья о другом неравенстве, носящем имя Чебышёва — см. Неравенство Чебышёва для сумм.

Нера́венство Чебышёва (или неравенство Бьенеме — Чебышёва) — неравенство в теории меры и теории вероятностей. Оно было первый раз получено Бьенеме в 1853 году, и позже также Чебышёвым (в статье «О средних величинах» 1867 года).

Неравенство в стандартной формулировке, домноженное на $c.$ Демонстрирующая анимация

Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.

В теории меры

Неравенство Чебышёва в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры. Аналог этого неравенства в теории вероятностей — неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва также используется для доказательства вложения пространства $L_{p}$ в слабое пространство $L_{p}$.

Стандартная формулировка

Пусть $(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$ — пространство с мерой. Если функция $f(x)$ интегрируема и неотрицательна на множестве $A$, то для любой положительной константы $c$ мера множества всех $x$ из $A$, для которых значение $f(x)$ не меньше $c$, сама не больше интеграла от $f(x)$ по $A$, делённого на $c$:

$\mu \left\{x\in A:f(x)\geqslant c\right\}\leqslant {\frac {1}{c}}\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx).$

Обобщённая формулировка

Стандартной формулировке можно сделать следующее обобщение. Пусть $g(x)$ также интегрируема и неотрицательна на множестве $A$, но она к тому же не убывает (не обязательно всюду, достаточно лишь неубывания на всей области значения $f(x)$ и в точке $c$). Тогда мера множества всех $x$ из $A$, для которых значение $f(x)$ не меньше $c$, сама не больше интеграла от композиции $g{\big (}f(x){\big )}$ по $A$, делённому на $g(c)$:

$\mu \left\{x\in A:f(x)\geqslant c\right\}\leqslant {\frac {1}{g(c)}}\int \limits _{A}g{\big (}f(x){\big )}\,\mu (dx).$

Для перехода к стандартной формулировке достаточно взять $g(x)=x.$

Формулировка в терминах пространства Lₚ

Пусть $\phi (x)\in L_{p}$. Тогда

$\mu {\Bigl (}{\bigl \{}x\in A\,{\big |}\,|\phi (x)|>t{\bigr \}}{\Bigr )}\leqslant {\frac {\|\phi \|_{p}^{p}}{t^{p}}}.$

В теории вероятностей

Неравенство Чебышёва, ограничивающее вероятность больших отклонений случайной величины от своего математического ожидания

Неравенство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. А более точно, оно даёт оценку вероятности того, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего.

Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

Формулировка

Пусть случайная величина $X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ определена на вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, а её математическое ожидание $\mu$ и дисперсия $\sigma ^{2}$ конечны. Тогда

$\mathbb {P} \left(|X-\mu |\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}$, где $a>0$.

Если $a=k\sigma$, где $\sigma$ — стандартное отклонение и $k>0$, то получаем

$\mathbb {P} \left(|X-\mu |\geqslant k\sigma \right)\leqslant {\frac {1}{k^{2}}}$.

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на $2$ стандартных отклонения, с вероятностью меньше $25\%$. Отклоняется от среднего на $3$ стандартных отклонения с вероятностью меньше $11.12\%$. Иными словами, случайная величина укладывается в $2$ стандартных отклонения с вероятностью $75\%$ и в $3$ стандартных отклонения с вероятностью $88.88\%$

Для важнейшего случая одномодальных распределений неравенство Высочанского — Петунина существенно усиливает неравенство Чебышёва, включая в себя дробь ${\textstyle {\frac {4}{9}}}$. Таким образом, граница в $3$ стандартных отклонения включает $95.06\%$ значений случайной величины. В отличие от нормального распределения, где $3$ стандартных отклонения включают $99.73\%$ значений случайной величины.

Доказательство

Докажем теорему в обобщённой формулировке. Обозначим за $A_{c}$ искомое множество $\{x\in A:f(x)\geqslant c\}.$ Тогда интеграл от композиции по $A$ можно разбить на сумму двух интегралов: по $A_{c}$ и по $A\setminus A_{c}$, оба из которых неотрицательны, так что интеграл от композиции по $A$ не меньше, чем интеграл по $A_{c}$ — один из них. В то же время на всём множестве $A_{c}$ функция $f(x)$ не меньше $c$ по построению, поэтому на нём значение композиции $g{\big (}f(x){\big )}$ не меньше $g(c)$ в силу свойств неубывания, а потому и интеграл от композиции по $A_{c}$ больше или равен интегралу от $g(c)$ по $A_{c}$. Последний равен произведению меры $A_{c}$ на $g(c)$, ведь $g(c)$ константа. Поделив на $g(c)$, получим исходное соотношение. Формализуя вышесказанное получаем доказываемое неравенство:

${\frac {1}{g(c)}}\int \limits _{A}g{\big (}f(x){\big )}\,\mu (dx)={\frac {1}{g(c)}}\left(\int \limits _{A_{c}}g{\big (}f(x){\big )}\,\mu (dx)+\int \limits _{A\setminus A_{c}}g{\big (}f(x){\big )}\,\mu (dx)\right)\geqslant {\frac {1}{g(c)}}\int \limits _{A_{c}}g{\big (}f(x){\big )}\,\mu (dx)\geqslant {\frac {1}{g(c)}}\int \limits _{A_{c}}g(c)\,\mu (dx)={\frac {1}{g(c)}}\cdot g(c)\mu A_{c}=\mu A_{c}.$

См. также

• Оценка Чернова

Литература

• Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — С. 300—301.
• Коллектив авторов. Московский математический сборник. — М., 1867. — Т. 2.

Ссылки

• П. Л. Чебышевъ, «О среднихъ величинахъ», Матем. сб., 2:1 (1867), 1-9