Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца, хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского[2].
Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.
Неравенство легко излагается словами, а именно: скалярное произведение по модулю не превосходит произведения норм.
Для двух случайных величин и неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
Способы доказательства
Существует лишь несколько сущностно различных подходов к доказательству неравенства. Однако, ввиду его универсальности, одни и те же приводящие к нему формальные операции можно описывать в разных терминах. Из-за этого некоторые авторы представляют неравенство как имеющее чрезвычайно много доказательств.[3]
Для удобства изложения в данном разделе, когда не указано иное, описываются доказательства только для пространства конечной размерности над , то есть для конечных последовательностей , .
Абстрактный, через проекции вектора не вектор (подходит и для комплексного, и для бесконечномерного случая)
А) Сформулируем определение скалярного произведения
Скалярное произведение в линейной алгебре над комплексными числами имеет следующие три определяющие свойства (аксиомы):
Аксиома 1) оно есть полуторалинейная (в теоретической физике часто говорят просто "билинейная") форма, то есть:
для любых векторов и любого комплексного числа .
Слово "полуторалинейная" означает наличие комплексного сопряжения при "вытаскивании за форму" коэффициента при первом аргументе формы (четвертое равенство). В "действительной" линейной алгебре этого сопряжения нет, и форма называется билинейной, однако это является частным случаем, ибо комплексное сопряжение действительного числа его не меняет.
Таковое определение принято для того, чтобы "спасти" аксиому положительной определенности (Аксиому 3 ниже) скалярного произведения столбцов. В "действительном" случае таковое произведение равно , но над комплексными числами выражение (сумма квадратов комплексных чисел) не обязательно даже действительно, не говоря уж о положительности. Выражение же является суммой квадратов модулей компонент столбца (выраженией вида ), и оно действительно и положительно для любого ненулевого .
"Действительный" случай получается из комплексного а) опусканием всех комплексных сопряжений и б) заменой всех на (ибо по определению ).
Аксиома 2) оно есть эрмитова форма, то есть:
для любых векторов и .
В "действительном" случае комплексное сопряжение опускается, и форма называется симметрической.
Аксиома 3) оно есть положительно определенная форма, то есть:
для любого ненулевого вектора .
Б) Теперь сформулируем определения параллельной и ортогональной проекции вектора на другой вектор
Параллельной проекцией вектора на вектор называется вектор:
Этот вектор существует всегда, когда , то есть - по Аксиоме 3 - когда .
Поскольку в скобках стоит число, этот вектор действительно параллелен вектору .
Ортогональной проекцией вектора на вектор называется вектор:
Докажем, что этот вектор ортогонален :
(по Аксиоме 1 (полутора/билинейности))
(раскрыли )
(вытащили коэффициент за скобку по Аксиоме 1)
(комплексное сопряжение "сохраняет" 4 арифметических действия, и деление в том числе - оно есть автоморфизм)
(по Аксиоме 3 действительно)
(сократили на )
(по Аксиоме 2 есть эрмитова форма)
При этом по построению имеем:
Таким образом, для любого вектора и любого вектора существует и единственно разложение , такое, что параллелен , ортогонален , и оба слагаемых ортогональны друг другу.
В) Теперь докажем неравенство Коши-Буняковского
При неравенство переходит в равенство (с обеих сторон нуль), и, поскольку оно нестрогое, оно верно.
При можно разложить вектор на параллельную и ортогональную проекцию на в виде
Далее рассмотрим выражение :
(по Аксиоме 1 (полутора/билинейности))
(удалили слагаемые, равные нулю из-за ортогональности двух проекций)
(раскрыли )
(вытащили коэффициенты за скобку по Аксиоме 1)
(раскрыли скобки)
(комплексное сопряжение "сохраняет" 4 арифметических действия, и деление в том числе - оно есть автоморфизм)
(по Аксиоме 3 действительно)
(сократили на )
(по Аксиоме 2 есть эрмитова форма)
(используем тот факт, что для любого )
Итого получаем:
При второе слагаемое слева есть нуль.
При второе слагаемое слева есть произведение двух положительных (по Аксиоме 3) действительных чисел, и само действительно и положительно.
А потому:
Извлекаем корень, пользуясь тем, что с обеих сторон неотрицательные числа (справа - по Аксиоме 3), а также монотонным ростом квадрата и корня:
Слева используем то, что , а справа - то, что
Очевидно, что :
Подставляем определение нормы :
Неравенство доказано, причем для комплексного случая.
Пригодность данного доказательства для бесконечномерной линейной алгебры очевидна потому, что в доказательстве нигде не использовались разложения векторов по конечному базису. Оно основано только на аксиомах (определяющих свойствах) скалярного произведения.
Пусть . Раскрывая квадрат и делая замену , квадрат суммы можно разбить на блоки следующим образом:
где обозначения соответствуют . Из перестановочного неравенства для двух копий последовательности и перестановок
следует, что каждая из внутренних сумм не превышает .
Общий случай
Если все — целые, то, раскрывая произведения и применяя уже доказанный частный случай для получившихся слагаемых, получим
Делением обоих частей на целые числа можно получить то же неравенство для рациональных , а из непрерывности сложения и умножения следует и обобщение для произвольных вещественных . Это утверждение в точности соответствует неравенству Коши-Буняковского для последовательностей
.
Поэтому неравенство для произвольных , следует из возможности обратной замены
.
Вероятностный (через суммирование квадратов)
Идея (на примере дисперсии)
Самая известная реализация этого метода — рассмотрение дисперсии случайной величины. Очевидно, что если величина принимает неотрицательные значения, то её математическое ожидание также будет неотрицательно, поэтому
для любой случайной величины . Благодаря линейности математического ожидания из этого следует, что
Пусть все и . Для случайной величины , которая принимает значение с вероятностью , это неравенство означает, что
то есть
Отсюда неравенство Коши-Буняковского можно получить той же заменой переменных, что и в случае с применением перестановочного неравенства.
Интерпретация и альтернативные формы
После замены переменных математическое ожидание описанной выше величины будет иметь вид
Поэтому вероятностное доказательство, в сущности рассматривает сумму
Из очевидной (ввиду возведения скобки в квадрат) неотрицательности этой суммы выводится соотношение между слагаемыми, получающимися при раскрытии скобки — двое из трёх таких слагаемых сокращаются в одно (различаются лишь на константу) за счёт структуры формулы. Изменяя нормировку (деление на суммы) с помощью внесения множителей под скобки и домножения константы, легко увидеть, что такой подход аналогичен использованию более наглядной суммы
Неравенства с такими суммами, записанные без привязки к вероятностным определениям, остаются корректным и без условия из предыдущего раздела. В частности, для произвольного гильбертова пространства при можно рассмотреть неравенство
а при достаточно домножить на комплексное число вида чтобы свести всё к первому случаю.
Аналогичным способом можно использовать другую, симметричную, сумму, где после раскрытия скобки сокращаются два крайних слагаемых (полученные возведением в квадрат), а не крайнее с центральным:
Неравенство можно получить с помощью индукции, шагом которой для перехода от к -му слагаемому будет применение того же неравенства для двух слагаемых. Предположение индукции для последовательностей , даёт неравенство
А из случая для последовательностей
,
легко видеть, что
Таким образом неравенство доказывается для произвольного индукцией с базой . Базу можно доказать любым из остальных способов (например, через неравенство ).[7] Также для существуют наглядные геометрические доказательства.[8][9]