Неравенство Коши — Буняковского

(перенаправлено с «Неравенство Коши-Буняковского»)

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом или гильбертовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы. Частный случай неравенства Гёльдера и неравенства Йенсена[1].

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца, хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского[2]. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

Неравенство легко излагается словами, а именно: скалярное произведение по модулю не превосходит произведения норм.

Формулировка

править

Пусть дано линейное пространство   со скалярным произведением  . Пусть   — норма, порождённая скалярным произведением, то есть  . Тогда для любых   имеем:

 

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы   и   линейно зависимы (коллинеарны, или среди них есть нулевой).

Примеры

править
  • Важным частным случаем, часто использующимся в теории чисел, является случай, когда один из векторов полностью состоит из единиц:
 
 

где   обозначает комплексное сопряжение  .

 
  • В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом   неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
     
где   обозначает ковариацию, а   — дисперсию.
  • Для двух случайных величин   и   неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
     

Литература

править

Примечания

править
  1. См. доказательство 11 в Wu, 2009
  2. Bounjakowsky W. «Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg. 7 série», 1859, t. 1, № 9.
  3. Wu, 2009.
  4. См. доказательства 2 (при  ), 5 в Wu, 2009 для первой суммы и доказательства 3, 4, 8 там же для второй.
  5. См. доказательство 7 в Wu, 2009.
  6. См. доказательства 1, 6 (для случая  ) и 12 (после раскрытия индукции, то есть суммирования различных  ) в Wu, 2009.
  7. См. доказательство 6 в Wu, 2009.
  8. Обзор доказательств неравенства Коши-Буняковского Архивная копия от 25 августа 2021 на Wayback Machine, (см. геометрические доказательства для   на с. 15-18)
  9. Интерактивная демонстрация геометрического доказательства. Дата обращения: 25 августа 2021. Архивировано 25 августа 2021 года.