Гладкая функция

Гладкая функция порядка 0 — непрерывная функция.

Гладкая функция порядка 1 — непрерывно-дифференцируемая функция, то есть функция, имеющая непрерывную производную.

Гладкая функция порядка $k\in \mathbb {N}$ — дифференцируемая $k$ раз функция, плюс к этому $k$ -я производная является непрерывной.

Гладкая функция порядка $\infty$ — бесконечно-дифференцируемая функция, то есть функция, имеющая производные всех порядков.

Гладкая функция порядка $\omega$ или $a$ — вещественно-аналитическая функция, то есть функция, разложимая в степенной ряд окрестности точки (в окрестности каждой точки, если рассматривается гладкость на множестве).

Без уточнения порядка под гладкой функцией обычно понимают либо непрерывно-дифференцируемую функцию, либо бесконечно-дифференцируемую функцию, в зависимости от конкретного автора. Также довольно часто в конкретном месте под гладкой функцией понимают гладкую функцию порядка достаточного для того, чтобы имели смысл все действия, выполняемые над функцией по ходу текущего рассуждения.

Гладкость может быть определена как в одной точке, так и на всей области определения. Множество гладких функций порядка $k$ на множестве $X$ обозначается как $C^{k}(X)$ и называется классом гладкости. Классы гладкости упорядочены по включению следующим образом: $C^{0}\supset C^{1}\supset C^{2}\supset \ldots \supset C^{\infty }\supset C^{\omega }$ ; таким образом, гладкая функция порядка $k$ является гладкой и всех порядков меньших $k$ . Гладкие функции порядка $k$ также называют $k$ -гладкими функциями.

Гладкие функции на различных множествах

Под областью значений гладкой функции всегда понимают $\mathbb {R}$ ; в случае множества $\mathbb {R} ^{n}$ говорят о гладкой вектор-функции, а в случае произвольного многообразия — о гладком отображении. Под областью определения гладкой функции может пониматься вообще любое множество, имеющее структуру многообразия.

На подмножествах $\mathbb {R}$ гладкие функции могут быть определены на промежутках. На множестве из одной точки любая функция считается гладкой любого порядка. На интервалах работает определение приведённое выше, на полуинтервалах или отрезках в концевых точках рассматривается односторонняя производная. Также $k$ -гладкая функция определяется для произвольного объединения промежутков и изолированных точек как функция, $k$ -гладкая на каждом из них.

На подмножествах $\mathbb {R} ^{n}$ всё работает аналогично, гладкость определяется на изолированных точках, открытых множествах, замкнутых областях и на различных других.

На гладком многообразии порядка $k$ понятие гладкой функции может быть определено только до порядка $k$ включительно.

Вектор-функция называется $k$ -гладкой, если у неё все компоненты $k$ -гладкие.

Приближение аналитическими функциями

Пусть $\Omega$ -- область в $\mathbb {R} ^{n}$ и $f\in C^{k}(\Omega )$ , $0\leqslant k\leqslant \infty$ . Пусть $\{K_{p}\}$ — последовательность компактных подмножеств $\Omega$ такая, что $K_{0}=\varnothing$ , $K_{p}\subset K_{p+1}$ и $\bigcup K_{p}=\Omega$ . Пусть $\{n_{p}\}$ — произвольная последовательность положительных целых чисел и $m_{p}=\min(k,\;n_{p})$ . Наконец, пусть $\{\varepsilon _{p}\}$ — произвольная последовательность положительных чисел. Тогда существует вещественно-аналитическая функция $g$ , определённая в $\Omega$ такая, что для всякого $p\geqslant 0$ выполнено неравенство

\|f-g\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}<\varepsilon _{p},

где $\|f-g\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}$ обозначает максимум из норм (в смысле равномерной сходимости, то есть максимума модуля на множестве ${K_{p+1}\backslash K_{p}}$ ) производных функции $f-g$ всех порядков от нуля до ${m_{p}}$ включительно.

Дробная гладкость

Для тонкого анализа классов дифференцируемых функций вводят также понятие дробной гладкости в точке или показателя Гёльдера, которое обобщает все выше перечисленные понятия гладкости.

Функция $f$ принадлежит классу $C^{r,\alpha }$ , где $r$ — целое неотрицательное число и $0<\alpha \leqslant 1$ , если имеет производные до порядка $r$ включительно и $f^{(r)}$ является гёльдеровской с показателем $\alpha$ .

В переводной литературе, наравне с термином показатель Гёльдера, используется термин показатель Липшица.

См. также