Компактное пространство

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.

В общей топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.

Определение

Компактное пространство — топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие^[1].

Изначально такое свойство называлось бикомпактностью (этот термин был введён П. С. Александровым и П. С. Урысоном), а в определении компактности использовались счётные открытые покрытия. Впоследствии более общее свойство бикомпактности оказалось более популярным и постепенно стало называться просто компактностью. Сейчас термин «бикомпактность» употребляется в основном лишь топологами школы П. С. Александрова. Для пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счётности, первоначальное определение компактности равносильно современному^[2].

Бурбаки и его последователи включают в определение компактности свойство хаусдорфовости пространства^[2].

Примеры компактных множеств

Замкнутые ограниченные множества в $\mathbb {R} ^{n}$ .
Конечные подмножества топологических пространств.
Теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств в пространстве $C(X)$ вещественных функций на метрическом компактном пространстве $X$ с нормой $\|f\|=\sup _{x}|f(x)|$ : замыкание множества функций $F$ в $C(X)$ компактно тогда и только тогда, когда $F$ равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
Пространство Стоуна булевых алгебр.
Компактификация топологического пространства.

Связанные определения

Подмножество топологического пространства T, являющееся в индуцированной T топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
Множество называется предкомпактным (или компактным относительно T), если его замыкание в T компактно^[3].
Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
Псевдокомпактное пространство — тихоновское пространство, в котором каждая непрерывная вещественная функция ограничена.
Счётно компактное пространство — топологическое пространство, в любом счётном покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.
Слабо счётно компактное пространство — топологическое пространство, в котором любое бесконечное множество имеет предельную точку.
H-замкнутое пространство — хаусдорфово пространство, замкнутое в любом объемлющем его хаусдорфовом пространстве^[4].

Термин «компакт» иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство». Также «компакт» иногда используется для хаусдорфова компактного пространства^[5]. Далее, мы будем использовать термин «компакт» как синоним к термину «компактное пространство».

Свойства

Свойства, равносильные компактности:
- Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое центрированное семейство замкнутых множеств, то есть семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение^[6].
- Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая направленность в нём имеет предельную точку.
- Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый фильтр в нём имеет предельную точку.
- Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке.
- Топологическое пространство $X$ компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в $X$ .
Другие общие свойства:
- Для любого непрерывного отображения образ компакта — компакт.
- Теорема Вейерштрасса. Любая непрерывная вещественная функция на компактном пространстве ограниченна и достигает своих наибольших и наименьших значений.
- Замкнутое подмножество компакта компактно.
- Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.
- Компактное хаусдорфово пространство нормально.
- Хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда оно регулярно и H-замкнуто^[4].
- Хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое его замкнутое подмножество H-замкнуто^[4].
- Теорема Тихонова: произведение произвольного (необязательно конечного) множества компактных множеств (с топологией произведения) компактно.
- Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
- Компактные множества «ведут себя как точки»^[7]. Например: в хаусдорфовом пространстве любые два непересекающиеся компактных множества обладают непересекающимися окрестностями, в регулярном пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества обладают непересекающимися окрестностями, в тихоновском пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества функционально отделимы.
- Каждое конечное топологическое пространство компактно.
Свойства компактных метрических пространств:
- Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.
- Теорема Хаусдорфа о компактности даёт необходимые и достаточные условия компактности множества в метрическом пространстве.
- Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне — Бореля^[8].
- Лемма Лебега: для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия $\{V_{\alpha }\},\ \alpha \in A$ существует положительное число $r$ такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше $r$ , содержится в одном из множеств $V_{\alpha }$ . Такое число $r$ называется числом Лебега.

См. также

Компактификация

Примечания

↑ Виро и др., 2012, с. 97.
↑ ¹ ² Виро и др., 2012, с. 98.
↑ Колмогоров, Фомин, 1976, с. 105.
↑ ¹ ² ³ Келли, 1968, с. 209.
↑ Энгелькинг, 1986, с. 208.
↑ См. также Лемма о вложенных отрезках
↑ Энгелькинг, 1986, с. 210.
↑ См. также Теорема Больцано — Вейерштрасса#Теорема Больцано — Вейерштрасса и понятие компактности

Литература

Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа (рус.). — 4-е изд.. — М.: Наука, 1976.
Виро, О. Я., Иванов, О. А., Нецветаев, Н. Ю., Харламов, В. М.. Элементарная топология (рус.). — 2-е изд., исправл.. — М.: МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9.
Протасов, В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии (рус.). — М.: МЦНМО, 2005. — 56 с. — (Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 31).
Шварц, Л. Анализ (рус.). — М.: Мир, 1972. — Т. I.
Келли, Дж. Л.. Общая топология (рус.). — М.: Наука, 1968.
Энгелькинг, Р.. Общая топология (рус.). — М.: Мир, 1986. — 752 с.
Архангельский, А.В. Бикомпактное пространство (рус.) // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.
Войцеховский, М. И.. Компактное пространство (рус.) // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.

[_4f817b4e115f724e-1] Виро и др., 2012, с. 97.

[_4f817b4e115f7241-2] ¹ ² Виро и др., 2012, с. 98.

[_89893731dd37e55c-3] Колмогоров, Фомин, 1976, с. 105.

[_794f117082d3a6af-4] ¹ ² ³ Келли, 1968, с. 209.

[_c419d4f5a032073b-5] Энгелькинг, 1986, с. 208.

[6] См. также Лемма о вложенных отрезках

[_c419d3f5a0320560-7] Энгелькинг, 1986, с. 210.

[8] См. также Теорема Больцано — Вейерштрасса#Теорема Больцано — Вейерштрасса и понятие компактности

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]