Лемма Адамара

Лемма Адамара (англ. Hadamard's lemma, фр. Lemme de Hadamard) — утверждение, описывающее строение гладкой вещественной функции. Названа в честь французского математика Жака Адамара.

Пусть $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — функция класса $C^{r}$, где $r\geqslant 1$, определённая в выпуклой окрестности $U$ точки $0$. Тогда существуют такие функции $g_{1},\;\ldots ,\;g_{n}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ класса $C^{r-1}$, определённые в $U$, что для всех $x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\in U$ имеет место равенство $f(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=f(0)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,\;g_{i}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}),\quad g_{i}(0)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(0).$

Если функция $f$ — аналитическая, то и функции $g_{1},\;\ldots ,\;g_{n}$ в приведенной выше формуле аналитические.

Обобщенная формулировка

Лемма Адамара может быть сформулирована в более общей форме, когда часть переменных играет роль параметров:

Пусть $f(x,\,y)\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ — функция класса $C^{r}$, где $r\geqslant 1$, определённая в выпуклой окрестности $U$ точки $0$, при этом $x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})$ и $y=(y_{1},\;\ldots ,\;y_{m})$. Тогда существуют такие функции $g_{1}(x,\,y),\;\ldots ,\;g_{n}(x,\,y)\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ класса $C^{r-1}$, определённые в $U$, что для всех $(x,\,y)\in U$ имеет место равенство $f(x,\,y)=f(0,\,y)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,\;g_{i}(x,\,y),\quad g_{i}(0,\,y)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(0,\,y).$

Доказательство.

Рассмотрим вспомогательную функцию $f(tx,\,y)=f(tx_{1},\,\ldots ,\,tx_{n},\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$, где $t$ — дополнительная вещественная переменная (параметр). Пусть $t$ пробегает значения из отрезка $[0,\,1]$, тогда функция $f(tx,\,y)$, рассматриваемая как функция $\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R}$ при каждом фиксированном значении параметра $t$, пробегает в пространстве функций от $n+m$ переменных некоторую кривую с концами $f(0,\,y)$ и $f(x,\,y)$.

Рассматривая $f(tx,\,y)$ как функцию переменной $t$, зависящую от параметров $x\in R^{n}$ и $y\in R^{m}$, и применяя формулу Ньютона — Лейбница, можно записать:

$f(x,\,y)-f(0,\,y)=\int _{0}^{1}{\frac {df(tx,\,y)}{dt}}\,dt=\int _{0}^{1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(tx,\,y)\,dt=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x,\,y),$

где

$g_{i}(x,\,y):=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(tx,\,y)\,dt.$

Требуемая гладкость функций $g_{i}(x,\,y)$ следует из известной теоремы о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, которая доказывается в курсе математического анализа.

Применения

Лемма Адамара позволяет получить ряд полезных следствий, находящих применения в разных разделах математики, в первую очередь, в теории особенностей.

• С помощью леммы Адамара легко доказывается Лемма Морса.
• Другое полезное следствие леммы Адамара (в её обобщённом виде) состоит в том, что если росток гладкой функции $f(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ обращается в нуль на гиперплоскости $x=0$, то он представим в виде $f=x\,g(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),$ где $g$ — некоторая гладкая функция.
• Отсюда вытекает, что для ростка любой гладкой функции $f(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ имеет место представление $f=f_{0}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x\,g(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),$ где $f_{0}=f(0,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ и $g$ — гладкие функции.
• Применяя индукцию, отсюда нетрудно получить также более общее представление:

$f=f_{0}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x\,f_{1}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+\ldots +x^{n}\,f_{n}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x^{n+1}\,g(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),$

где $f_{i}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ и $g$ — гладкие функции и $n$ — произвольное натуральное число.

См. также

• Формула Тейлора
• Лемма Морса

Литература

• Зорич В.А. Математический анализ.
• Павлова Н.Г., Ремизов А.О. Введение в теорию особенностей. — М.: Изд-во МФТИ, 2022. — 181 с. — ISBN 978-5-7417-0794-4.