Неопределённый интеграл

Неопределённый интегра́л для функции $f(x)$ — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция $f(x)$ определена и непрерывна на промежутке $(a,b)$ и $F(x)$ — её первообразная, то есть $F'(x)=f(x)$ при $a<x<b$, то

$\int f(x)dx=F(x)+C,$ $a<x<b$,

где С — произвольная постоянная.

Основные свойства неопределённого интеграла приведены ниже.

$d\left(\int f(x)dx\right)=f(x)dx$

$\int d(F(x))=F(x)+C$

$\int a\cdot f(x)dx=a\cdot \int f(x)dx,a\neq 0$

$\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$

Если $\int f(x)dx=F(x)+C$, то и $\int f(u)du=F(u)+C$, где $u=\varphi (x)$ — произвольная функция, имеющая непрерывную производную

Подведение под знак дифференциала

При подведении под знак дифференциала используются следующие свойства:

$du=d(u+C)$

$du={1 \over a}d(au)$

$f'(u)\cdot du=d(f(u))$

Основные методы интегрирования

Основная статья: Методы интегрирования

1. Метод введения нового аргумента. Если

$\int g(x)dx=G(x)+C,$

то

$\int g(u)du=G(u)+C,$

где $u=\varphi (x)$ — непрерывно дифференцируемая функция.

2. Метод разложения. Если

$g(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x),$

то

$\int g(x)dx=\int g_{1}(x)dx+\int g_{2}(x)dx.$

3. Метод подстановки. Если $g(x)$ — непрерывна, то, полагая

$x=\varphi (t),$

где $\varphi (t)$ непрерывна вместе со своей производной $\varphi '(t)$, получим

$\int g(x)dx=\int g(\varphi (t))\varphi '(t)dt.$

4. Метод интегрирования по частям. Если $u$ и $v$ — некоторые дифференцируемые функции от $x$, то

$\int udv=uv-\int vdu.$

Таблица основных неопределённых интегралов

$\int 0\cdot dx=C;$

$\int 1\cdot dx=x+C;$

$\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$ $(n\neq -1);$

$\int {\frac {1}{x}}dx=\ln \mid x\mid +C;$

$\int e^{x}dx=e^{x}+C;$

$\int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,$ $(a>0,a\neq 1);$

$\int \cos x\,dx=\sin x+C;$

$\int \sin x\,dx=-\cos x+C;$

$\int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\mathrm {tg} \,x+C;$

$\int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\mathrm {ctg} \,x+C;$

$\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C_{1}=-\arccos x+C_{2}\quad (C_{2}={\frac {\pi }{2}}+C_{1});$

$\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C;$

$\int \mathrm {ch} \,xdx=\mathrm {sh} \,x+C;$

$\int \mathrm {sh} \,xdx=\mathrm {ch} \,x+C;$

Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определённая) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же — одна определённая первообразная, к которой ещё прибавляется константа $C$ такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями.

Первообразные функции в этих формулах определены и непрерывны на тех интервалах, на которых определены и непрерывны соответствующие подынтегральные функции. Эта закономерность не случайна: как отмечено выше, всякая непрерывная на интервале функция имеет на нём непрерывную первообразную.

См. также

• Первообразная
• Определённый интеграл
• Основная теорема анализа
• Знак интеграла
• Интегральное исчисление
• Численное интегрирование
• Методы интегрирования
• Список интегралов элементарных функций
• Таблица интегралов

Литература

• Никольский С. М. Глава 9. Определенный интеграл Римана // Курс математического анализа. — 1990. — Т. 1.
• Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 6. Неопределенный интеграл // Основы математического анализа. — 1998. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).

• Демидович Б.П. Отдел 3. Неопределенный интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Integral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
• Онлайн Калькулятор Интегралов Архивная копия от 6 января 2010 на Wayback Machine
• Онлайн калькулятор интегралов с подробным пошаговым решением на русском языке Архивная копия от 29 апреля 2014 на Wayback Machine
• Интеграл — статья из Большой советской энциклопедии.