Невырожденный полупроводник

Невы́рожденный полупроводни́к — полупроводник, уровень Ферми в котором расположен в запрещенной зоне на расстоянии по энергии большем $kT$ от её границ ($k$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура), вследствие чего носители заряда в этом полупроводнике подчиняются статистике Максвелла-Больцмана. Если уровень Ферми лежит внутри разрешённых зон (внутри зоны проводимости в случае полупроводника n-типа или валентной зоны в случае p-типа), то такой полупроводник называется вырожденным.

Распределение носителей в зонах

Общий случай

Поскольку электроны обладают полуцелым спином, они подчиняются статистике Ферми-Дирака

$f(E)={\frac {1}{1+\exp {\frac {E-F}{kT}}}}$,

$f(E)$ — вероятность того, что квантовое состояние с энергией $E$ заполнено электроном; $F$ — электрохимический потенциал, или уровень Ферми, который в общем случае зависит от температуры. Уровень Ферми можно также определить как энергию квантового состояния, вероятность заполнения которого при данных условиях равна 1/2.

При $T=0\quad$$f(E)$ имеет вид разрывной функции:

• для $E<F\quad$ $f(E)=1$, а значит, все квантовые состояния с такими энергиями заполнены электронами;
• для $E>F\quad$ $f(E)=0$, поэтому соответствующие квантовые состояния свободны.

При $T>0\quad$ функция Ферми изображается непрерывной кривой и в узкой области энергий порядка нескольких $kT$ в окрестности точки $E=F$ быстро изменяется от 1 до 0. Размытие функции Ферми тем больше, чем выше температура.

Случай невырожденного полупроводника

Вычисление статистических величин значительно упрощается, если $F$ лежит в запрещённой зоне энергий и удален от края зоны проводимости $E_{c}$ хотя бы на несколько $kT$. Тогда в формуле Ферми-Дирака можно считать $\exp[(E-F)/kT]\gg 1$ и выражение упрощается до

$f(E)=\exp {\frac {F-E}{kT}}$.

В этом случае электронный газ не вырожден. Если последнее выражение домножить на плотность состояний $\rho \sim {\sqrt {E-E_{c}}}$, где $E_{c}$ — дно зоны проводимости, и пронормировать произведение на участке $0<E<\infty$, получится распределение Максвелла — Больцмана по энергиям, известное из классической статистики.

Аналогично в полупроводнике p-типа для отсутствия вырождения дырочного газа необходимо, чтобы уровень Ферми $F$ тоже лежал внутри запрещенной зоны и был расположен выше энергии $E_{v}$ хотя бы на несколько $kT$.

Противоположный случай, когда уровень Ферми расположен внутри зоны проводимости или внутри валентной зоны, есть случай вырожденного электронного или, соответственно, дырочного газа. В этом случае необходимо пользоваться распределением Ферми — Дирака.

Концентрация носителей в зонах

Общий случай

Концентрация электронов в зоне проводимости описывается выражением

$n=\int \limits _{E_{c}}^{\infty }f(E)\rho _{c}(E)dE=N_{c}\Phi _{1/2}(\xi )$,

$\xi ={\frac {F-E_{c}}{kT}}$ — химический потенциал для электронов (точнее, его безразмерная величина),

$\rho _{c}(E)={\frac {1}{V}}{\frac {dN}{dE}}$ — плотность электронных состояний в зоне проводимости — число состояний на единичный интервал энергий в единице объёма,

$N_{c}=2\left({\frac {m_{c}kT}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}$ — эффективная плотность состояний в зоне проводимости.

Значение интеграла $\Phi _{1/2}(\xi )$ зависит только от химического потенциала и температуры. Этот интеграл известен как интеграл Ферми — Дирака с индексом 1/2:

$\Phi _{1/2}(\xi )={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{1/2}}{1+\exp {(x-\xi )}}}$.

Расчет концентрации дырок в валентной зоне проводится аналогично, отличия от предыдущего случая лишь в том, что используется плотность состояний в валентной зоне $\rho _{v}(E)$ и учитывается не число заполненных, а число незанятых состояний $f_{p}=(1-f)$:

$p=\int \limits _{-\infty }^{E_{v}}f_{p}(E)\rho _{v}(E)dE=N_{v}\Phi _{1/2}(\eta )$,

$N_{v}=2\left({\frac {m_{v}kT}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}$ — эффективная плотность состояний в валентной зоне,

$\eta ={\frac {E_{v}-F}{kT}}$ — химический потенциал для дырок — безразмерный параметр, характеризующий положение уровня Ферми относительно края валентной зоны.

Случай невырожденного полупроводника

Для невырожденных полупроводников существен только хвост распределения Ферми, который может быть аппроксимирован распределением Максвелла — Больцмана. В этом случае интеграл Ферми-Дирака принимает вид $\Phi _{1/2}(\xi )=\exp {\xi }$, и концентрации носителей в зонах определяются выражениями:

$n=N_{c}\exp {\frac {F-E_{c}}{kT}}$,

$p=N_{v}\exp {\frac {E_{v}-F}{kT}}$.

Множитель перед экспонентой дает вероятность заполнения электронами квантового состояния с энергией $E_{c}$ (либо с энергией $E_{v}$ в случае дырок). Следовательно, для невырожденного полупроводника концентрация подвижных электронов получается такой же, как если бы, вместо непрерывного распределения состояний в зоне, в каждой единице объёма было $N_{c}$ состояний с одинаковой энергией $E_{c}$.

Рассуждая аналогично, при подсчете концентрации дырок валентную зону можно заменить совокупностью состояний с одинаковой энергией $E_{v}$ число которых в каждой единице объёма есть $N_{v}$.

В невырожденных полупроводниках концентрация основных носителей мала по сравнению с эффективными плотностями состояний $N_{v},N_{c}$. В вырожденных полупроводниках имеет место обратное. Поэтому, сопоставляя измеренные значения концентрации электронов и дырок со значениями $N_{v},N_{c}$, можно сразу установить, является ли данный полупроводник вырожденным или нет.

Отношение ${\frac {n}{p}}$ зависит главным образом от положения уровня Ферми относительно краев зон. Из выражений для концентраций $n,p$ видно, что концентрация подвижных носителей заряда будет больше в той зоне, к которой ближе расположен уровень Ферми. Поэтому в полупроводниках n-типа уровень Ферми расположен в верхней половине запрещенной зоны, а в полупроводниках p-типа — в нижней половине. Однако произведение концентраций электронов и дырок для невырожденного полупроводника не зависит от положения уровня Ферми и равно $np=N_{c}N_{v}\exp {\frac {-E_{g}}{kT}}$.

Литература

• Бонч-Бруевич В. Л., Калашников С. Г. Физика полупроводников. — Москва: Наука, 1977.
• Лебедев А. И. Физика полупроводниковых приборов. — Физматлит Москва, 2008. — 488 с. — ISBN 978-5-9221-0995-6.