Ма́трицы Дира́ка (также известные как га́мма-ма́трицы ) — набор матриц, удовлетворяющих особым антикоммутационным соотношениям. Часто используются в релятивистской квантовой механике.
Матрицами Дирака называется любой набор матриц, удовлетворяющих уравнению
{
γ
μ
,
γ
ν
}
=
γ
μ
γ
ν
+
γ
ν
γ
μ
=
2
η
μ
ν
I
,
{\displaystyle \displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I,}
где
η
μ
ν
{\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}
метрика Минковского сигнатуры
(
+
−
−
−
)
,
{\displaystyle \left(+---\right),}
I антикоммутатор .
Один из возможных способов выбрать матрицы Дирака в четырёхмерном пространстве такой:
γ
0
=
[
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
]
,
γ
1
=
[
0
0
0
1
0
0
1
0
0
−
1
0
0
−
1
0
0
0
]
,
γ
2
=
[
0
0
0
−
i
0
0
i
0
0
i
0
0
−
i
0
0
0
]
,
γ
3
=
[
0
0
1
0
0
0
0
−
1
−
1
0
0
0
0
1
0
0
]
{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}
(Дираковское представление; используются также представления Вейля и Майораны ).
Полезно определить произведение четырёх гамма-матриц следующим образом:
γ
5
=
i
γ
0
γ
1
γ
2
γ
3
=
[
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
]
{\displaystyle \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}
γ
5
{\displaystyle \gamma ^{5}}
γ
5
=
i
4
!
ε
μ
ν
α
β
γ
μ
γ
ν
γ
α
γ
β
,
{\displaystyle \gamma ^{5}={\frac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta },}
где
ε
μ
ν
α
β
{\displaystyle \varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }}
тензор Леви-Чивиты .
Эта матрица полезна при обсуждении хиральности в квантовой механике. Так, дираковское спинорное поле можно спроецировать на его левую или правую компоненту:
ψ
L
=
1
−
γ
5
2
ψ
,
ψ
R
=
1
+
γ
5
2
ψ
{\displaystyle \psi _{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi ,\qquad \psi _{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}\psi }
Некоторые свойства
γ
5
{\displaystyle \gamma ^{5}}
(
γ
5
)
†
=
γ
5
.
{\displaystyle (\gamma ^{5})^{\dagger }=\gamma ^{5}.}
Собственные значения равны ±1, поскольку
(
γ
5
)
2
=
I
.
{\displaystyle (\gamma ^{5})^{2}=I.}
Антикоммутирует с четырьмя другими гамма-матрицами:
{
γ
5
,
γ
μ
}
=
γ
5
γ
μ
+
γ
μ
γ
5
=
0.
{\displaystyle \left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0.}
Матрицы Дирака могут быть компактно записаны как блочные матрицы с использованием матриц Паули σ1 , σ2 , σ3 , дополненных единичной матрицей I
γ
0
=
[
I
0
0
−
I
]
,
γ
1
=
[
0
σ
1
−
σ
1
0
]
,
γ
2
=
[
0
σ
2
−
σ
2
0
]
,
γ
3
=
[
0
σ
3
−
σ
3
0
]
.
{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}I&0\\0&-I\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{1}\\-\sigma _{1}&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{2}\\-\sigma _{2}&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{3}\\-\sigma _{3}&0\end{bmatrix}}.}
В представлении Вейля
γ
k
{\displaystyle \gamma ^{k}}
γ
0
{\displaystyle \gamma ^{0}}
γ
5
{\displaystyle \gamma ^{5}}
γ
0
=
[
0
I
I
0
]
,
γ
k
=
[
0
σ
k
−
σ
k
0
]
,
γ
5
=
[
−
I
0
0
I
]
.
{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{bmatrix}-I&0\\0&I\end{bmatrix}}.}
Представление Вейля имеет то преимущество, что в нём хиральные проекции принимают простую форму:
ψ
L
=
1
2
(
1
−
γ
5
)
ψ
=
[
I
0
0
0
]
ψ
,
ψ
R
=
1
2
(
1
+
γ
5
)
ψ
=
[
0
0
0
I
]
ψ
.
{\displaystyle \psi _{L}={\frac {1}{2}}(1-\gamma ^{5})\psi ={\begin{bmatrix}I&0\\0&0\end{bmatrix}}\psi ,\quad \psi _{R}={\frac {1}{2}}(1+\gamma ^{5})\psi ={\begin{bmatrix}0&0\\0&I\end{bmatrix}}\psi .}
Существует также представление Майораны , в котором все гамма-матрицы мнимые, а спиноры вещественные:
γ
0
=
[
0
σ
2
σ
2
0
]
,
γ
1
=
[
i
σ
3
0
0
i
σ
3
]
{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{2}\\\sigma _{2}&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{bmatrix}i\sigma _{3}&0\\0&i\sigma _{3}\end{bmatrix}}}
γ
2
=
[
0
−
σ
2
σ
2
0
]
,
γ
3
=
[
−
i
σ
1
0
0
−
i
σ
1
]
,
γ
5
=
[
σ
2
0
0
−
σ
2
]
.
{\displaystyle \gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&-\sigma _{2}\\\sigma _{2}&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}-i\sigma _{1}&0\\0&-i\sigma _{1}\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{bmatrix}\sigma _{2}&0\\0&-\sigma _{2}\end{bmatrix}}.}
В современной науке основным является определяющее свойство гамма-матриц, а не их числовое представление.
