Лемма о трезубце

Лемма о трезубце, также называемая леммой о трилистнике и леммой Мансиона, — теорема в геометрии треугольника, связанная со свойствами вписанной, вневписанной и описанной окружностей треугольника.

Лемма о трезубце используется как вспомогательное утверждение при доказательстве многих теорем, в частности, формулы Эйлера или доказательстве существования окружности Эйлера.

Название «лемма Мансиона» было дано в честь бельгийского математика Поля Мансьона. Название же «лемма о трезубце» было дано благодаря сходству с одноимённым оружием ключевой для леммы конструкции (красная на рисунках ниже).

Формулировка

Лемма о трезубце.

Лемма о трилистнике.

Лемма Мансиона.

Пусть у треугольника $ABC$ точка $I$ — центр вписанной окружности, точка $I_{a}$ — центр вневписанной окружности, противоположной вершине $A$, а точка $L$ — точка пересечения отрезка $II_{a}$ с дугой описанной окружности (см. справа). Тогда точка $L$ равноудалена от $I$, $I_{a}$, $B$ и $C$.

Частные варианты этого утверждения носят различные названия

• Теорема Мансиона: $L$ равноудалена от $I$ и $I_{a}$.
• Лемма о трилистнике, или лемма о трезубце, или лемма Мансиона: $L$ равноудалена от $I$, $B$ и $C$.
• Лемма о трезубце: $L$ равноудалена от $I$, $I_{a}$, $B$ и $C$.

Другой вариант задания точки $L$ — как центра дуги $BC$ описанной окружности, не содержащей точки $A$.

Доказательство

Под $\angle A,\angle B$ будем понимать углы $\angle BAC,\angle ABC$ соответственно. Если луч $AI$ пересекает описанную окружность в точке $L$, то $L$ является средней точкой дуги $BC$, отрезок $AL$ является биссектрисой угла $\angle A$. Проведя отрезок $BI$, заметим, что

$\angle BIL=\angle A/2+\angle B/2,$

потому что $\angle BIL$ внешний к треугольнику $\triangle AIB$, а также

$\angle LBI=\angle LBC+\angle CBI=\angle A/2+\angle B/2,$ потому что $\angle LBC$ и $\angle LAC=\angle A/2$ равны, так как опираются на одну дугу $LC$.

Значит, треугольник $\triangle BLI$ равнобедренный, т.е, $BL=LI.$ Равенство $CL=BL$ следует из того, что на обе эти хорды опирается одинаковый угол $\angle A/2.$ Таким образом, $BL=LI=LC.$

Мы показали, что $BL=LI=LC$. Теперь докажем что «ручка» трезубца $LI_{a}$ равна этой же величине.

Продлим сторону $AB$ за точку $B$ и возьмём где-нибудь на этом продолжении точку $E$. Под $\angle A$ будем понимать $\angle BAC,$ под $\angle B$ будем иметь в виду угол $\angle EBC=180^{\circ }-\angle ABC.$

Тогда нам нужно понять, что треугольник $\triangle BLI_{a}$ равнобедренный, то есть, что $\angle LBI_{a}=\angle LI_{a}B$.

С одной стороны,

$\angle LBI_{a}=\angle B/2-\angle A/2$

и,

так как $\angle EBI_{a}$ внешний в треугольнике $\triangle BI_{a}A,$ $\angle B/2-\angle A/2=\angle BI_{a}A$.

Вариации и обобщения

Внешняя лемма о трезубце

• Лемма о трезубце для двух центров вневписанных окружностей («внешняя» лемма о трезубце)

Связь с окружностью Эйлера

Через лемму о трезубце можно доказать существование окружности Эйлера.

Рассмотрим остроугольный треугольник ABC. Заметим, что четырёхугольники $AH_{c}HH_{b}$, $BH_{c}HH_{a}$, $H_{b}HH_{a}C$ вписаны (рис. 1). Поэтому равны углы $\measuredangle HH_{b}H_{c}=\measuredangle HAH_{c}=\measuredangle HCH_{a}=\measuredangle HH_{b}H_{a}$ (рис 2).

рисунок 1

рисунок 2

Из этого следует, что $H_{b}H$ — биссектриса в треугольнике $\triangle H_{c}H_{b}H_{a}$. По совершенно аналогичным причинам $H_{a}H$ и $H_{c}H$ тоже биссектрисы в этом треугольнике (рис 3). Также можно заметить, что $AB,$ $BC,$ $CA$ — внешние биссектрисы к треугольнику $\triangle H_{c}H_{b}H_{a}$ (потому что каждая из них перпендикулярна своей внутренней биссектрисе). Поэтому можно применить лемму о трезубце трижды, для каждой из сторон (рис 4).

рисунок 3

рисунок 4

Из этого получим, что середины отрезков $HA,HB,HC$ лежат на окружности, описанной около ортотреугольника. Теперь трижды применим внешнюю лемму о трезубце (рис 5).

Рисунок 5

Получим, что середины сторон $AB,BC,CA$ лежат на окружности, описанной около ортотреугольника.

Замечание

Для того, чтобы доказать существование окружности Эйлера для тупоугольного треугольника $ABC$ c тупым углом $A$, достаточно рассмотреть остроугольный треугольник $BCH$ с ортоцентром $A$, и применить к нему те же рассуждения.

См. также

• Формула Эйлера
• Теорема Мансиона
• Вписанная окружность
• Вневписанная окружность
• Инцентр
• Окружность
• Описанная окружность
• Конфигурация Джонсона
• Теорема Фусса