Ортотреугольник

Ортотреуго́льник (или ортоцентрический треугольник) — треугольник $\triangle abc$, вершины которого являются основаниями высот исходного треугольника $\triangle ABC$. Для ортотреуго́льника $\triangle abc$ исходный треугольник $\triangle ABC$ является треугольником трёх внешних биссектрис. Точка пересечения высот исходного треугольника $\triangle ABC$ называется ортоцентром и является центром вписанной окружности ортотреуго́льника $\triangle abc$.

Свойства

• Задача Фаньяно: ортотреугольник остроугольного треугольника $\triangle ABC$ обладает наименьшим периметром из всех вписанных треугольников.
• Окружность девяти точек: окружность, описанная вокруг ортотреугольника остроугольного треугольника $\triangle ABC$, проходит через середины сторон треугольника Δ$ABC$ и через середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника $\triangle ABC$. Радиус этой окружности равен половине радиуса окружности, описанной вокруг треугольника Δ$ABC$.
• Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника.
• Стороны треугольника являются тремя внешними биссектрисами его ортотреугольника, таким образом треугольник является треугольником трёх внешних биссектрис своего ортотреугольника.
• Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
• Если точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ на сторонах соответственно $BC$, $AC$ и $AB$ остроугольного треугольника Δ$ABC$ таковы, что $\angle BA_{1}C_{1}=\angle CA_{1}B_{1}$, $\angle CB_{1}A_{1}=\angle AB_{1}C_{1}$ и $\angle AC_{1}B_{1}=\angle BC_{1}A_{1}$, то $A_{1}B_{1}C_{1}$ — ортотреугольник треугольника $\triangle ABC$.
• Ортотреугольник треугольника Δ$ABC$ отсекает при вершинах $A$, $B$ и $C$ треугольники, подобные треугольнику Δ$ABC$ с коэффициентами подобия соответственно $|cos(\angle A)|$, $|cos(\angle B)|$, $|cos(\angle C)|$.
• Окружности, описанные вокруг отсекаемых ортотреугольником треугольников, проходят через ортоцентр, и их центры лежат на серединах отрезков, соединяющих ортоцентр исходного треугольника с вершинами исходного треугольника.
• Если вокруг остроугольного треугольника описать окружность и в трех вершинах треугольника провести прямые, касательные к окружности, то пересечение этих прямых образует треугольник, который называют тангенциальным треугольником по отношению к исходному треугольнику, и стороны которого параллельны сторонам ортотреугольника исходного треугольника.

Свойства подобия родственных треугольников

$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ — ортотреугольник треугольника $\triangle ABC$, а $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$— треугольник Жергонна ортотреугольника. $H$— ортоцентр $\triangle ABC$, инцентр $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$и центр описанной окружности $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$. Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$ подобны.

• Ортотреугольник и тангенциальный треугольник подобны (Зетель, следствие 1, § 66, с. 81).
• Треугольник Жергонна ортотреугольника и исходный треугольник подобны (см. рисунок).
• Треугольник трёх внешних биссектрис треугольника трех внешних биссектрис и исходный треугольник подобны.
• Ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
• Выше указанные свойства подобия родственных треугольников являются следствием ниже перечисленных свойств параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников.

Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников

• Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат.
• Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
• Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
• Если точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, то получится треугольник Жергонна. Пусть в полученном треугольнике проведены высоты. Тогда прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно, ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.

Другие свойства

• Площадь ортотреугольника равна:

$S_{ort}={\frac {S}{(2abc)^{2}}}(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+c^{2}-b^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})$

где $S$ — площадь треугольника ΔABC; $a,b,c$ — его соответствующие стороны.

• Окружность, описанная около ортотреугольника Δabc, для самого треугольника ΔABC является окружностью Эйлера (окружностью 9 точек), то есть одновременно проходит, через 3 основания медиан последнего. Заметим, что эти 3 основания медиан являются вершинами дополнительного треугольника для треугольника ΔABC.
• Радиусы окружности, описанной около данного треугольника ΔABC, проведенные через его вершины, перпендикулярны соответственным сторонам ортотреугольника Δabc (Зетель, следствие 2, § 66, с. 81).

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 38-39. — ISBN 5-94057-170-0.
• Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. 153 с.