Лемма Гензеля

Лемма Гензеля — результат в модульной арифметике, утверждающий, что если алгебраическое уравнение имеет простой корень по модулю простого числа $p$ , то данному корню однозначно соответствует корень того же уравнения, взятого по модулю $p^{k}$ , который может быть найден итеративным подъёмом по степеням $p$ . Названа в честь Курта Гензеля. В более общем случае, лемма Гензеля также используется как обоснование для аналогов метода Ньютона в полных коммутативных кольцах (в частности, в p-адических числах).

Формулировка

Существует множество эквивалентных формулировок леммы Гензеля.

Общая формулировка

Пусть $K$ — поле, полное относительно дискретного нормирования $v$ , а ${\mathcal {O}}_{K}$ — кольцо целых поля $K$ (то есть, элементов с неотрицательным нормированием). Пусть $\pi \in K$ — некоторый элемент $K$ , такой что $v(\pi )=1$ , обозначим соответствующее ему поле вычетов^[англ.] как $k={\mathcal {O}}_{K}/\pi$ . Пусть $f(X)\in {\mathcal {O}}_{K}[X]$ — некоторый многочлен с коэффициентами из ${\mathcal {O}}_{K}$ . Если у редуцированного многочлена ${\overline {f}}(X)\in k[X]$ есть простой корень (то есть, существует $k_{0}\in k$ такой что ${\overline {f}}(k_{0})=0$ и ${\overline {f'}}(k_{0})\neq 0$ ), то существует единственный $a\in {\mathcal {O}}_{K}$ , такой что $f(a)=0$ и ${\overline {a}}=k_{0}$ ^[1].

Альтернативная формулировка

В менее общем виде лемма формулируется следующим образом: пусть $f(x)$ — многочлен с целыми (или p-адическими целыми) коэффициентами. Пусть также $m$ и $k$ — целые числа, такие что $0<m\leq k$ . Если $r$ — целое число, такое что

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}\quad {\text{и}}\quad f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}},

то существует целое число $s$ , такое что

f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}\quad {\text{и}}\quad r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.

Более того, число $s$ определено однозначно по модулю $p^{k+m}$ и может быть выражено в явном виде как

s=r-f(r)\cdot a,

где $a$ — целое число, такое что

a\equiv [f'(r)]^{-1}{\pmod {p^{m}}}.

Следует заметить, что, в силу $f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}$ , также выполнено условие $s\equiv r{\pmod {p^{k}}}$ .

Пример

Рассмотрим уравнение $x^{2}\equiv x{\pmod {10^{k}}}$ , определяющее автоморфные числа длины $k$ в десятичной системе счисления. Его можно рассматривать в виде эквивалентной системы двух уравнений по модулю степеней простых чисел:

{\begin{cases}x^{2}\equiv x{\pmod {2^{k}}},\\x^{2}\equiv x{\pmod {5^{k}}}\end{cases}}

При $k=1$ решениями уравнения являются числа, заканчивающиеся на $0$ , $1$ , $5$ или $6$ . Чтобы получить решения для больших $k$ , можно воспользоваться леммой Гензеля, считая, что $f(x)=x^{2}-x$ .