Координатное пространство

Координатное пространство — это плоское пространство, которое устанавливает позицию двухмерных объектов при использовании двух опорных осей, которые являются перпендикулярными друг к другу.

Все физические явления могут быть описаны в разных пространствах: координатном, импульсном, фазовом и др. Описания математически эквивалентны, однако различаются сложностью и интуитивностью описания. В большинстве случаев, координатное пространство является интуитивно понятным и наиболее лёгким для понимания процесса, в нём протекающего, однако, в физике твёрдого тела в общем случае удобнее использовать импульсное описание.

Определение

Назовём $n$-мерным вектором совокупность из $n$ чисел поля $P,$ эти числа — координатами вектора ${\vec {r}}={\vec {r}}(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}).$ Для определённости говорят, что данный вектор ${\vec {r}}$ является радиус-вектором, хотя это не обязательно.

Множество $n$-мерных векторов, для которых определены операции:

• ${\vec {a}}={\vec {b}}\;\leftrightarrow \;\left\{{\begin{matrix}a_{1}=b_{1}\\a_{2}=b_{2}\\\ldots \\a_{n}=b_{n}\end{matrix}}\right.$
• ${\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1},\;a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n})$
• $\lambda \cdot {\vec {a}}=(\lambda \cdot a_{1},\;\lambda \cdot a_{2},\ldots ,\lambda \cdot a_{n})$

называют $n$-мерным арифметическим пространством или $n$-мерным координатным пространством $P^{n}$.

Свойства

Пусть $\exists {\vec {0}}=(0,0,\ldots ,0),{\vec {a}}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\lambda \in \mathbb {R} ,\mu \in \mathbb {R}$

• Ассоциативность:

$({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}})$

• Коммутативность:

${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}$

• Единственность решения уравнения:

$\forall {\vec {a}},{\vec {b}}\;\exists !\;{\vec {x}}\in P^{n}\;:\;{\vec {a}}+{\vec {x}}={\vec {b}}$

• Существование нейтрального элемента:

$\forall {\vec {a}}\;:\;{\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {a}}$

• Существование противоположного вектора:

$\forall {\vec {a}}\;\exists {\vec {b}}(b_{1}=-a_{1},\;b_{2}=-a_{2},\ldots ,b_{n}=-a_{n})\;:\;{\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {0}}$

• Ассоциативность скалярного умножения:

$\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {R} \;:\;\lambda \cdot (\mu \cdot {\vec {a}})=(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {a}}$

• Дистрибутивность умножения относительно сложения скаляров:

$(\lambda +\mu )\cdot {\vec {a}}=\lambda \cdot {\vec {a}}+\mu \cdot {\vec {a}}$

• Дистрибутивность умножения относительно сложения векторов:

$\lambda ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\lambda \cdot {\vec {b}}$

• Существование базис-векторов:

Пусть $\left\{{\begin{matrix}{\vec {v_{1}}}={\vec {v_{1}}}(1,0,\ldots ,0)\\{\vec {v_{2}}}={\vec {v_{2}}}(0,1,\ldots ,0)\\\vdots \\{\vec {v_{n}}}={\vec {v_{n}}}(0,0,\ldots ,1)\end{matrix}}\right.$

Тогда

• Эти векторы линейно независимы
• Любой вектор ${\vec {v}}={\vec {v}}(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})$ можно представить как ${\vec {v}}=v_{1}\cdot {\vec {v_{1}}}+v_{2}\cdot {\vec {v_{2}}}+\ldots +v_{n}\cdot {\vec {v_{n}}}$

Операторы в координатном пространстве

Все операторы могут быть обобщены на $n$-мерный случай, однако для простоты в этом разделе будут рассматриваться только трёхмерные случаи.

• Лапласиан:

$\Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}$

• Набла:

$\nabla ={\partial \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec {k}}$

• Векторный оператор Лапласа:

${\vec {\Delta }}{\vec {A}}=\nabla (\nabla \cdot {\vec {A}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})$

• Оператор импульса:

$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$

См. также

• Импульсное пространство
• Фазовое пространство
• Пространство конфигураций