Квантовый гармонический осциллятор

Ква́нтовый гармони́ческий осцилля́тор — физическая модель в квантовой механике, представляющая собой параболическую потенциальную яму для частицы массой $m$ и являющаяся аналогом простого гармонического осциллятора. При анализе поведения данной системы рассматриваются не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полная энергия осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора.

Одномерный гармонический осциллятор

Волновые функции в координатном представлении первых восьми состояний, $n=0,\dots ,7$. По горизонтали отложена координата $q$, по вертикали — значение волновой функции $\psi _{n}(q)$. Графики не нормированы.

Гамильтониан квантового осциллятора массой $m$, собственная частота которого $\omega$, выглядит так:

$\!{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}{\hat {q}}^{2}}{2}}$

В координатном представлении оператор импульса имеет вид ${\hat {p}}=-i\hbar \partial /\partial x$ , а оператор координаты ${\hat {q}}=x$. Через $\hbar$ обозначена редуцированная постоянная Планка, через $i$ — мнимая единица.

Задача отыскания уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению чисел $E$, при которых дифференциальное уравнение в частных производных

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x)+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}\psi (x)=E\psi (x)$

имеет решение в классе квадратично интегрируемых функций. Здесь $\psi (x)$ — волновая функция. Для

$E=E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)\ ,\ n=0,1,2,\ldots$

решение имеет вид:

$\psi =\psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),$

функции $H_{n}$ — полиномы Эрмита:

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}$.

Данный спектр значений $E$ заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, уровни энергии дискретны и равноотстоящи (эквидистантны), то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна $\hbar \omega$; во-вторых, наименьшее значение энергии равно $\hbar \omega /2$. Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.

Гамильтониан гармонического осциллятора можно также записать вводя операторы рождения и уничтожения (${\hat {a}}^{+}$ и ${\hat {a}}$, соответственно)

${\hat {a}}^{+}={\frac {1}{\sqrt {2m\hbar \omega }}}(m\omega x-i{\hat {p}}),\quad {\hat {a}}={\frac {1}{\sqrt {2m\hbar \omega }}}(m\omega x+i{\hat {p}})$,

сопряжённые друг другу. Их коммутатор равен

$[{\hat {a}},{\hat {a}}^{+}]={\hat {a}}{\hat {a}}^{+}-{\hat {a}}^{+}{\hat {a}}={\frac {i}{\hbar }}({\hat {p}}{\hat {q}}-{\hat {q}}{\hat {p}})=1$.

С помощью операторов рождения и уничтожения гамильтониан обретает компактный вид

${\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{+}{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left({\hat {n}}+{\frac {1}{2}}\right)$,

где ${\hat {n}}={\hat {a}}^{+}{\hat {a}}$ — оператор номера уровня (чисел заполнения). Собственные векторы записанного гамильтониана являются фоковскими состояниями, а представление решения задачи в таком виде называется «представлением числа частиц».

Неодномерный гармонический осциллятор

Если колебания независимо происходят вдоль всех трёх декартовых координат ($x$, $y$, $z$), уравнение Шрёдингера становится трехмерным, но возможно разделение переменных — и для каждой из координатных осей получается одномерное уравнение. В результате волновые функции будут записываться в форме

$\psi _{n_{x},n_{y},n_{z}}(x,\,y,\,z)=\psi _{n_{x}}(x)\psi _{n_{y}}(y)\psi _{n_{z}}(z)$,

где функции-сомножители справа имеют вид, обсуждавшийся выше. При этом энергии уровней составят

$E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=\hbar \omega \left(n_{x}+n_{y}+n_{z}+{\frac {3}{2}}\right)$,

где $n_{x}$, $n_{y}$, $n_{z}$ — неотрицательные целые числа. Уровни, кроме нулевого, оказываются вырожденными, так как одна и та же величина энергии может достигаться несколькими комбинациями чисел.

Ангармонический осциллятор

Под ангармоническим осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармонического осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:

${\hat {H}}={{\hat {p}}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}{\hat {q}}^{2}+\lambda {\hat {q}}^{3}$,

где $\lambda =\,\,$сonst. Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.

В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования) кубическое слагаемое равно

$\lambda \left({\hbar \over 2m\omega }\right)^{3 \over 2}({\hat {a}}+{\hat {a}}^{+})^{3}.$

Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутствует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния $\left|\psi _{E}\right\rangle$ равна

$\Delta E^{(2)}=\lambda ^{2}\left\langle \psi _{E}\right|q^{3}{1 \over E-\hbar \omega /2}q^{3}\left|\psi _{E}\right\rangle .$

Многочастичный квантовый осциллятор

В простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взаимодействие соседних частиц по квадратичному закону:

${\hat {H}}=\sum _{i=1}^{N}{{\hat {p}}_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{i<j}^{N}({\hat {q}}_{i}-{\hat {q}}_{j})^{2}$

Здесь под ${\hat {q}}_{i}$ и ${\hat {p}}_{i}$ подразумеваются отклонение от положения равновесия и импульс $i$-той частицы. Суммирование ведётся только по соседним частицам.

Такая модель приводит к теоретическому обоснованию фононов — Бозе-квазичастиц, наблюдающихся в твёрдом теле.

Переходы под влиянием внешней силы

Под влиянием внешней силы $f(t)$ квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии ($n$) на другой ($m$). Вероятность этого перехода $W_{n,m}(t)$ для осциллятора без затухания даётся формулой

$W_{n,m}(t)={\frac {n!}{m!}}|\delta |^{2(n-m)}\exp \left(-|\delta ^{2}|\left(L_{n}^{m-n}(|\delta |^{2})\right)^{2}\right)$,

где функция $\delta (t)$ определяется как

$\delta (t)=-il\hbar \int \limits _{0}^{t}{f(\tau )\exp(i\omega \tau )d\tau }$,

а $L_{m}^{m-n}$ — полиномы Лагерра.

См. также

• Уровни Ландау
• Гармонический осциллятор

Литература

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 3-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1974. — 752 с. — («Теоретическая физика», том III).