Многочлены Лагерра

В математике многочлены Лаге́рра, названные в честь Эдмона Лагерра (1834—1886), являются каноническими решениями уравнения Лагерра:

Многочлены Лагерра
Общая информация
Формула	$L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)$
Скалярное произведение	$\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx$
Область определения	$x\geq 0$
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение	$x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0,$
Названы в честь	Лагерр, Эдмон Никола

$x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0,$

являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. В физической кинетике эти же многочлены (иногда с точностью до нормировки) принято называть полиномами Сонина или Сонина — Лагерра. Многочлены Лагерра также используются в квадратурной формуле Гаусса — Лагерра численного вычисления интегралов вида:

$\int \limits _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.$

Многочлены Лагерра, обычно обозначающиеся как $L_{0},\;L_{1},\;\ldots$, являются последовательностью полиномов, которая может быть найдена по формуле Родрига

$L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{n \choose k}x^{k}.$

Эти полиномы ортогональны друг другу со скалярным произведением:

$\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.$

Последовательность полиномов Лагерра — это последовательность Шеффера.

Многочлены Лагерра применяются в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шрёдингера для атома с одним электроном.

Имеются и другие применения многочленов Лагерра.

Несколько первых многочленов

В следующей таблице приведены несколько первых многочленов Лагерра:

$n$	$L_{n}(x)$
0	$1$
1	$-x+1$
2	${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)$
3	${\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)$
4	${\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)$
5	${\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)$
6	${\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)$

Первые 6 многочленов Лагерра.

Рекуррентная формула

Полиномы Лагерра можно определить рекуррентной формулой:

$L_{k+1}(x)={\frac {1}{k+1}}{\bigl [}(2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x){\bigr ]},\quad \forall k\geqslant 1,$

предопределив первые два полинома как:

$L_{0}(x)=1,$

$L_{1}(x)=1-x.$

Обобщённые полиномы Лагерра

Обобщённые полиномы Лагерра $L_{n}^{a}(x)$ являются решениями уравнения:

$x\,y''+(a+1-x)\,y'+n\,y=0,$

так что $L_{n}(x)=L_{n}^{0}(x)$.