Координатное представление (квантовая механика)

Координа́тное представле́ние — такое представление операторов квантовой механики, в котором операторы и волновая функция $\psi$ зависят от пространственных координат. В этом представлении оператор координаты диагонален. В наиболее общем трехмерном случае квадрат модуля волновой функции $|\psi ({\vec {r}})|^{2}$ в координатном представлении определяет плотность вероятности обнаружить частицу в конкретной точке пространства ${\vec {r}}$, а сама функция имеет размерность м^-3/2 (в одномерном случае м^-1/2).

Уравнение Шрёдингера

В данном представлении уравнение Шрёдингера имеет вид:

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U({\vec {r}})\right)\psi =i{\hbar }{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$

- зависящее от времени, и

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U({\vec {r}})\right)\psi =E\psi$

- не зависящее от времени.

Здесь ${\vec {r}}$ — радиус-вектор точки, где берётся волновая функция $\psi ({\vec {r}},t)$, $E$ — полная энергия рассматриваемой частицы, $U$ — потенциальная энергия этой частицы, $m$ — масса частицы, $\nabla$ — дифференциальный оператор набла, $\hbar$ — редуцированная постоянная Планка, $t$ — время, $i$ — мнимая единица.

Некоторые операторы в координатном представлении

${\vec {r}}$ — координата;

$-i{\hbar }\nabla$ — импульс;

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U({\vec {r}})$ — гамильтониан.

Связь с другими представлениями

Чтобы перейти в импульсное представление ($p$ — импульс), нужно осуществить один из двух вариантов действий:

1) решить задачу в координатном представлении и перейти к импульсному с помощью суперпозиционного соотношения

$\psi (p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi {\hbar }}}}\int \psi (x)e^{-ipx/\hbar }dx$,

при этом переход обратно к координатному представлению можно записать как

$\psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi {\hbar }}}}\int \psi (p)e^{ipx/\hbar }dp$.

Видно, что это прямое и обратное преобразования Фурье. В трехмерном пространстве множитель при интеграле нужно заменить на ${\frac {1}{\sqrt {(2\pi \hbar )^{3}}}}$.

2) Сменить гамильтониан на ${\hat {H}}={\frac {p^{2}}{2m}}+U\left(i{\hbar }{\frac {\partial }{\partial p}}\right)$ и решать задачу с ним.

Литература

• Тарасов Л.В. Основы квантовой механики. М.:Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2014.