Квазианалитическая функция

Квазианалити́ческие фу́нкции в математическом анализе — класс функций, которые, нестрого говоря, можно полностью реконструировать по их значениям на небольшом участке (например, на границе области). Такое свойство значительно облегчает решение дифференциальных уравнений и исследование других задач анализа. Поскольку это свойство выполняется для аналитических функций (см. Комплексный анализ), то класс квазианалитических функций содержит класс обычных аналитических функций и может рассматриваться как его расширение.

Определения

Функции одной переменной

Один из многих определяющих признаков аналитической функции: пусть функция $f(x)$ неограниченно дифференцируема во всех точках отрезка $[a,b]$ и пусть существует число $A$ (зависящее от функции) такое, что для всех точек $x\in [a,b]$ выполняется неравенство:

$|f^{(n)}(x)|\leqslant A^{n}n!$ (1)

Тогда функция $f(x)$ аналитическая (обратная теорема также верна).

Жак Адамар в 1912 году предложил обобщить приведенное неравенство, заменив последовательность $n!$ на последовательность общего вида $M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }$ положительных вещественных чисел. Он определил на интервале [a,b] класс функций C^M([a,b]) следующим образом:

Всякая функция $f$ из класса неограниченно дифференцируема (f ∈ C∞([a,b])), причём во всех точках x ∈ [a,b] и для всех $k\geqslant 0$ выполняется условие: $\left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leqslant A^{k}k!M_{k}$ (2) где A — некоторая константа (зависящая от функции).

Если взять последовательность M_k =1, то, согласно сказанному в начале раздела, мы получим в точности класс обычных вещественных аналитических функций на интервале [a,b].

Класс CM([a,b]) называется квазианалитическим, если для всякой функции f ∈ CM([a,b]) выполнено условие однозначности: если ${\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)=0$ в некоторой точке x ∈ [a,b] для всех k, то f тождественно равна нулю.

Элементы квазианалитического класса называются квазианалитическими функциями. Приведенное условие означает, что две функции, совпадающие в некоторой точке вместе со всеми своими производными, совпадают всюду. Другими словами, значения функции на произвольно малом участке полностью определяют все её значения.

Функции нескольких переменных

Для функции $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ и для набора индексов $j=(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ обозначим:

$|j|=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n}$

$D^{j}={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{1}^{j_{1}}\partial x_{2}^{j_{2}}\ldots \partial x_{n}^{j_{n}}}}$

$j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!$

$x^{j}=x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}.$

Тогда $f$ называется квазианалитической в открытой области $U\subset \mathbb {R} ^{n},$ если для каждого компактного $K\subset U$ существует константа $A$ такая, что:

$\left|D^{j}f(x)\right|\leqslant A^{|j|+1}j!M_{|j|}$

для всех индексов из набора $j\in \mathbb {N} ^{n}$ и во всех точках $x\in K$.

Класс квазианалитических функций от $n$ переменных по отношению к последовательности $M$ на множестве $U$ можно обозначить $C_{n}^{M}(U)$, хотя в источниках встречаются и другие обозначения.

Квазианалитические классы для логарифмически выпуклых последовательностей

Предположим, что в приведенном выше определении $M_{1}=1$ и последовательность $M_{k}$ неубывающая. Эта последовательность называется логарифмически выпуклой, если выполняется условие:

Последовательность ${M_{k+1} \over M_{k}}$ возрастает.

Если последовательность $M_{k}$ логарифмически выпукла, то:

$(M_{k})^{1/k}$ также возрастает.

$M_{r}M_{s}\leqslant M_{r+s}$ для всех $(r,s)\in \mathbb {N} ^{2}$.

Для логарифмически выпуклой $M$ квазианалитический класс $C_{n}^{M}$ представляет собой кольцо. В частности, он замкнут относительно умножения и композиции. Последнее означает:

Если $f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p}$ и $g\in C_{p}^{M}$, то $g\circ f\in C_{n}^{M}$.

Теорема Данжуа — Карлемана

Теорема Данжуа — Карлемана была сформулирована и частично решена Арно Данжуа (Denjoy (1921)) и полностью доказана в работе Торстена Карлемана (Carleman (1926)). Эта теорема предоставляет критерий для решения вопроса, при каких последовательностях M функции C^M([a,b]) образуют квазианалитический класс.

Согласно теореме, следующие утверждения равносильны:

• C^M([a,b]) — квазианалитический класс.
• $\sum 1/L_{j}=\infty ,$ где $L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$.
• $\sum _{j}(jM_{j}^{*})^{-1/j}=\infty ,$ где M_j^* — наибольшая логарифмически выпуклая последовательность, ограниченная сверху M_j.
• $\sum _{j}{\frac {M_{j-1}^{*}}{(j+1)M_{j}^{*}}}=\infty .$

Для доказательства того, что утверждения 3, 4 равносильны 2-му, используется неравенство Карлемана.

Пример: Denjoy (1921) указал, что если $M_{n}$ заданы одной из последовательностей

$1,\,{(\ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\dots ,$

то соответствующий класс квазианалитический. Первая последовательность (из единиц) дает обычные аналитические функции.

Дополнительные свойства

Для логарифмически выпуклой последовательности $M$ имеют место следующие свойства соответствующего класса функций.

• $C^{M}$ совпадает с классом аналитических функций тогда и только тогда, когда $\sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty$.
• Если $N$ — другая логарифмически выпуклая последовательность, у которой $M_{j}\leqslant C^{j}N_{j}$ (здесь $C$ — некоторая константа), то $C^{M}\subset C^{N}$.
• $C^{M}$ устойчиво по отношению к дифференцированию тогда и только тогда, когда $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$.
• Для любой неограниченно дифференцируемой функции $f$ можно найти квазианалитические кольца $C^{M}$ и $C^{N}$ и элементы $g\in C^{M},h\in C^{N}$ такие, что $f=g+h$.

Деление по Вейерштрассу

Определение. Функция $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ называется регулярной порядка $d$ по отношению к $x_{n}$, если $g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d}$ и $h(0)\neq 0$.

Пусть $g$ — регулярная функция порядка $d$ по отношению к $x_{n}$. Говорят, что кольцо $A_{n}$ вещественных или комплексных функций от $n$ переменных удовлетворяет делению Вейерштрасса по отношению к $g$, если для каждой $f\in A_{n}$ существуют $q\in A$ и $h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1}$ такие, что:

$f=gq+h$, где $h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}$.

Пример: кольцо аналитических функций и кольцо формальных степенных рядов оба удовлетворяют свойству деления Вейерштрасса. Если, однако, $M$ логарифмически выпукло и $C^{M}$ не совпадает с классом аналитических функций, то $C^{M}$ не удовлетворяет свойству деления Вейерштрасса по отношению к $g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}^{2}$.

История

Ключевой вопрос данной темы — способность аналитической функции однозначно восстанавливать свой «глобальный облик» по значениям самой функции и её производных в произвольной регулярной точке. Эмиль Борель первым обнаружил, что это свойство имеет место не только для аналитических функций.

В 1912 году Жак Адамар сформулировал вопрос: какой должна быть последовательность $M_{n},$ чтобы приведенное выше «условие однозначности» выполнялось для любой пары функций из соответствующего класса. Арно Данжуа в 1921 году привёл достаточные условия квазианалитичности и ряд примеров квазианалитичных классов (см. Denjoy (1921)). Полное решение проблемы дал пять лет спустя Торстен Карлеман (см. Carleman (1926)), установивший необходимые и достаточные условия квазианалитичности.

В дальнейшем С. Н. Бернштейн и Ш. Мандельбройт обобщили понятие квазианалитичности на классы недифференцируемых и даже разрывных функций. Простейший пример — совокупность решений линейного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами; функции, входящие в это решение, вообще говоря, не обладают бесконечным числом производных..

Литература

• Горный А. Квази-аналитические функции // Успехи математических наук. — М., 1938. — № 5. — С. 171–186.
• Леонтьев А. Ф. Квазианалитический класс функций // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 798—800.
• Мандельбройт С. Квазианалитические классы функций. — М.—Л.: ОНТИ НКТП, 1937.
• Мандельбройт С. Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей. Применения, пер. с франц., М.: Иностранная литература, 1955.
• Carleman, T. (1926), Les fonctions quasi-analytiques, Gauthier-Villars  (фр.)
• Denjoy, A. (1921), "Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle", C. R. Acad. Sci. Paris, 173: 1329—1331
• Hörmander, Lars (1990), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1
• Leont'ev, A. F. Quasi-analytic class // Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.

Ссылки

• Cohen, Paul J. (1968), "A simple proof of the Denjoy-Carleman theorem", The American Mathematical Monthly, 75 (1), Mathematical Association of America: 26—31, doi:10.2307/2315100, ISSN 0002-9890, JSTOR 2315100, MR 0225957