Квадратриса

Квадратри́са — плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Была предложена в античные времена (V веке до н. э.) для решения задач квадратуры круга и трисекции угла. Квадратриса стала первой в математике трансцендентной кривой.

Рис. 1. Кинематическое определение квадратрисы

Рис. 2. То же с анимацией

Определение

Кинематическое определение квадратрисы следующее: рассмотрим квадрат $ABCD$ (рис. 1), в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка $E$ равномерно движется по дуге от точки $D$ до точки $B$; одновременно отрезок $A'B'$ равномерно движется из положения $DC$ в положение $AB$. Наконец, потребуем, чтобы оба движения начались и закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса $AE$ и отрезка $A'B'$ опишет квадратрису (см. рисунки 1 и 2, выделена красным цветом).

Античные математики предубеждённо относились к кинематическим определениям кривых, считая их недостойными геометрической науки. Поэтому они предложили два других определения, не использующих понятия механического движения; эти определения приведены в сочинениях Паппа Александрийского и представляют квадратрису как проекцию некоторых кривых, связанных с винтовой линией или спиралью Архимеда. Построения эти довольно сложны и на практике не используются.

В Новое время были обнаружены и другие построения, где возникает квадратриса; например, рассмотрим пересечение витка геликоида с плоскостью, содержащей ось этой поверхности. Тогда проекция линии пересечения на плоскость, перпендикулярную оси, представляет собой ветку квадратрисы.

История

Первое упоминание о квадратрисе сделали Папп Александрийский и Ямвлих в конце III века. Папп дал и подробное описание способов её построения. Кривая открыта, по сообщению Прокла Диадоха, софистом Гиппием в V веке до н. э. и использовалась им для решения задачи трисекции угла. Другой античный геометр, Динострат, провёл в IV веке до н. э. исследование этой кривой и показал, что она обеспечивает также решение задачи квадратуры круга. В источниках данную кривую называют «квадратрисой Динострата» или «квадратрисой Гиппия».

Папп пишет, что математик III века Спор Никейский выдвинул два серьёзных возражения против использования квадратрисы для квадратуры круга, с которыми Папп полностью согласен:

1. Невозможно точно согласовать движение отрезков ВС и АВ, если не знать заранее отношение длины дуги четверти окружности к радиусу, поэтому получается порочный круг.
2. Точку К построить нельзя, потому что в соответствующий момент времени отрезок и радиус совпадают. В современной терминологии, точка К есть предел точек квадратрисы — понятие, чуждое античной математике.

В Новое время кривую исследовали Роберваль (1636), Ферма, Барроу (1670) и другие известные математики. Декарт посвятил исследованию квадратрисы немало страниц в своей «Геометрии» (1637). Ньютон в 1676 году определил длину дуги квадратрисы, её кривизну и площадь её сегмента в виде ряда, а также указал способ проведения касательных.

Уравнения кривой

• В полярных координатах:

$\rho ={\frac {2R}{\pi }}{\frac {\varphi }{\sin \varphi }}.$

Вывод

Пусть $R$ — радиус круга, $\varphi$ — текущий угол $FAG$, $\rho =AF$ — полярный радиус. Для удобства введём время $t$, которое за период движения меняется от 0 до 1. Тогда равномерное движение точки $E$ по дуге длиной $\textstyle {\frac {\pi }{2}}$ можно выразить уравнением: $\varphi ={\frac {\pi }{2}}\cdot (1-t).$ Равномерное движение отрезка $A'B'$ выражается уравнением: $A'A=\rho \sin \varphi =(1-t)R$ Подставляя значение $1-t$ из первого уравнения во второе, получаем окончательно: $\rho ={\frac {2R\varphi }{\pi \sin \varphi }}.$

• В прямоугольных координатах:

$x=y\,\operatorname {ctg} {\frac {\pi y}{2R}}$

Вывод

Приводим уравнение в полярных координатах к виду: $\rho \sin \varphi ={\frac {2R}{\pi }}\varphi$ Учитывая $\rho \sin \varphi =y$, получаем $y={\frac {2R}{\pi }}\varphi$ Из геометрических соображений: $\textstyle \varphi =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}$. Тогда уравнение предстанет в виде: ${\frac {\pi y}{2R}}=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}$ Берём тангенс от обеих частей: $\operatorname {tg} {\frac {\pi y}{2R}}={\frac {y}{x}}$ то есть $x=y\,\operatorname {ctg} {\frac {\pi y}{2R}}$

Основное свойство

Уравнение квадратрисы в полярных координатах можно записать в виде:

$\rho \sin \varphi ={\frac {2R}{\pi }}\varphi ,$ или: $y=k\varphi ,$ где $k={\frac {2R}{\pi }}.$

Отсюда следует основное свойство данной кривой:

Ординаты любых двух точек квадратрисы относятся, как полярные углы этих точек: ${\frac {y_{1}}{y_{2}}}={\frac {\varphi _{1}}{\varphi _{2}}}.$

Квадратриса — единственная (невырожденная) кривая в первом координатном квадранте, обладающая таким свойством (это легко доказать, повторив приведённые рассуждения в обратном порядке).

Другие свойства

Площадь сегмента $ADFG$ квадратрисы определяется формулой:

$S={\frac {2R^{2}\ln 2}{\pi }}$

Применение

Трисекция угла

Трисекция угла, то есть деление произвольного угла на три равные части, с помощью квадратрисы проводится элементарно. Пусть $EAB$ (рис. 1) — некоторый угол, треть которого надо построить. Алгоритм деления следующий:

1. Находим точку $F$ на квадратрисе и её ординату $A'$.
2. Откладываем на отрезке $AA'$ его третью часть; получим некоторую точку $H$.
3. Находим на квадратрисе точку $K$ с ординатой $H$.
4. Проводим луч $AK$. Угол $KAB$ — искомый.

Доказательство данного алгоритма сразу следует из основного свойства квадратрисы. Очевидно также, что аналогичным способом можно разделить угол не только на три, но и на любое другое число частей.

Квадратура круга

Рис. 3. Схема квадратуры круга с помощью квадратрисы

Задача квадратуры круга ставится так: построить квадрат с такой же площадью, как у заданного круга радиуса $R$. Алгебраически это означает решение уравнения: $x^{2}=\pi R^{2}$.

Построим для исходного круга квадратрису, как на рис. 1. Используя первый замечательный предел, получаем, что абсцисса $AG$ её нижней точки (на рис. 3 это отрезок $AJ$) равна ${\frac {2R}{\pi }}$. Выразим это в виде пропорции: $C:2R=2R:AG$, где $C=2\pi R$ — длина окружности. Приведённое соотношение позволяет построить отрезок длины $C$. Прямоугольник со сторонами $R$ и $C/2$ будет иметь нужную площадь, а построить равновеликий ему квадрат — дело несложное, см. статью Квадратура (математика) или рис. 3.

Вариации

Помимо рассмотренной выше квадратрисы Динострата, существует ряд иных кривых, которые можно использовать для квадратуры круга, и поэтому также называемых квадратрисами.

• Квадратриса Чирнгауза (или Чирнгаузена), аффинная обычной синусоиде:

$y=a\sin {\frac {\pi x}{2a}}$

• Квадратриса Озанама:

$x=2a\sin ^{2}{\frac {y}{2a}}$

• Кохлеоида с полярным уравнением $\rho =a{\frac {\sin \varphi }{\varphi }}$.

Рис. 4. График «полной» квадратрисы при R=1

Кроме того, ряд авторов предпочитают поменять местами x и y в уравнении квадратрисы Динострата:

$y=x\,\operatorname {ctg} {\frac {\pi x}{2R}}$

Этот вариант (полная квадратриса) имеет то преимущество, что функция $y(x)$ определена на всей вещественной оси, кроме особых точек $\pm 2R,\pm 4R,\pm 6R\dots$ (В точке $x=0$ функция $y(x)$ доопределяется предельным переходом; см. её график при $R=1$ на рис. 4.) В полярных координатах центральная ветка данного варианта кривой описывается формулой:

$\rho ={\frac {R}{\pi }}\cdot {\frac {\pi -2\varphi }{\cos \varphi }}$

Данная кривая имеет бесконечное число ветвей, для которых вертикальные прямые в особых точках являются асимптотами. Точки кривой с ординатой $y={\frac {2R}{\pi }}$ (за исключением точки на оси ординат) являются точками перегиба.

Литература

• Жуков А. В. «О числе π» Архивная копия от 29 февраля 2008 на Wayback Machine. М.: МЦНМО, 2002 г., 32 с ISBN 5-94057-030-5
• Прасолов В. В. История математики, в двух томах. — М.: МЦНМО, 2018. — Т. 1. — 296 с. — ISBN 978-5-4439-1275-2, 978-5-4439-1276-9.
• Прасолов В. В. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. — М.: Наука, 1992. — 80 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 62).
• Прошлецова И. Л. О квадратрисе Динострата // Историко-математические исследования. СПб.: Изд-во Международного фонда истории науки. Вып. 35 (1994). С. 220—229.
• Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения (справочное руководство). — М.: Физматлит, 1960. — С. 227—230. — 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
• Чистяков В. Д. Три знаменитые задачи древности. — М.: Гос. уч.-пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1963. — С. 33—37. — 96 с.
• Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? // Математическое образование. — 2008. — № 4 (48). — С. 3—15.
• Щетников А. И. Квадратриса Гиппия и её связь с задачами о трисекции угла и о квадратуре круга // Труды VIII Международных Колмогоровских чтений. — Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2010. — С. 392—396. — ISBN 978-5-87555-630-2.

Ссылки

• Quadratrix of Hippias Архивная копия от 4 февраля 2012 на Wayback Machine at the MacTutor archive.  (англ.)
• Quadratrix of Hippias at Convergence.  (англ.)