Эта статья или раздел нуждается в переработке. |
Замеча́тельные преде́лы — термины, использующиеся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения двух широко известных математических тождеств со взятием предела:
- Первый замечательный предел:
- Второй замечательный предел:
Первый замечательный предел
править
Доказательство:
Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.
Рассмотрим случай . Отложим этот угол на единичной окружности так, чтобы его вершина совпадала с началом координат, а одна сторона совпадала с осью . Пусть — точка пересечения второй стороны угла с единичной окружностью, а точка — с касательной к этой окружности в точке . Точка — проекция точки на ось .
Очевидно, что:
- (1)
(где — площадь сектора )
Поскольку :
Подставляя в (1), получим:
Так как при :
Умножаем на :
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел (так как функция четна, в этом нет необходимости, достаточно доказать это для правого предела):
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия:
Второй замечательный предел
править
Доказательство существования второго замечательного предела:
Докажем вначале теорему для случая последовательности
По формуле бинома Ньютона:
Полагая , получим:
- (1)
С увеличением число положительных слагаемых в правой части равенства (1) увеличивается. Кроме того, при увеличении число убывает, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом
- (2).
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство
Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
- .
Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
- .
Поэтому (3).
Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): .
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограничена, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:
1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.
- Отсюда следует: , поэтому
- .
- Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:
- .
- По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .
2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда
- .
Очевидно, из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.
Следствия
- для ,
Применение
правитьЗамечательные пределы и их следствия используются при раскрытии неопределённостей для нахождения других пределов.
См. также
правитьЛитература
править- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа (в двух частях). — М.: Физматлит, 2005. — С. 24-25. — ISBN 5-9221-0536-1.
Ссылки
править- Замечательные пределы на Wikia science Математика Архивная копия от 22 сентября 2018 на Wayback Machine
Для улучшения этой статьи желательно:
|