Квадратный паркет

Квадра́тный парке́т, квадратный паркетаж^[1], квадратная мозаика или квадратная решётка — это замощение плоскости равными квадратами, расположенными сторона к стороне, при этом вершины четырёх смежных квадратов находятся в одной точке. Символ Шлефли мозаики — {4,4}, означающий, что вокруг каждой вершины имеется 4 квадрата.

Квадратная мозаика

Тип	Правильная мозаика^[англ.]
Конфигурация граней	4.4.4.4 (или 4⁴) \|
Конфигурация граней	V4.4.4.4 (или V4⁴)
Символ Шлефли	{4,4} $\{\infty \}\times \{\infty \}$
Символ Витхоффа	4 \| 2 4
Диаграммы Коксетера — Дынкина
Симметрия	p4m, [4,4], (*442)
Симметрия вращения	], p4, [4,4]⁺, (442)\|
Двойственная мозаика	самодвойственны
Свойства	вершинно транзитивная гране транзитивная рёберно транзитивная

Конвей называл эту мозаику quadrille (кадриль).

Внутренний угол квадрата составляет 90 градусов, так что четыре квадрата в вершине дают полный угол в 360 градусов. Мозаика является одной из трёх правильных мозаик на плоскости. Другие две — треугольная мозаика и шестиугольная мозаика.

Однородные раскраски

Существует 9 различных однородных раскрасок квадратной мозаики. Цвета 4 квадратов по индексам цвета вокруг вершины: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Помечены через (i) случаи с простой зеркальной симметрией и через (ii) случаи со скользящей зеркальной симметрией. Три из этих вариантов можно рассматривать в той же фундаментальной области как редуцированные раскраски — 1112_i получается из 1213, 1123_i из 1234, а 1112_ii из 1123_ii.

9 однородных раскрасок
1111	1212	1213	1112_i	1122

p4m (*442)		p4m (*442)		pmm (*2222)
1234	1123_i	1123_ii	1112_ii

pmm (*2222)		cmm (2*22)

Доска Го с камнями

Шахматная раскраска (цвета 1212) является основой для многих игр и головоломок, например, поле шахматной доски представляет собой квадратный паркет, также и для многих других игр на клетчатом поле, кроссвордов, полимино, модели «Жизнь» и других двумерных клеточных автоматов и т. п.

Доска одного цвета (цвета 1111) используется, например, в игре Го.

Связанные многогранники и мозаики

Эта мозаика топологически является частью последовательности правильных многогранников и мозаик, продолжающейся в гиперболической плоскости: {4,p}, p=3,4,5…

Варианты симметрии *n42 правильных мозаик: {4,n}
Сферические	Евклидовы	Компактные гиперболические				Паракомпактные
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}...	{4,∞}

Квадратная мозаика являются частью последовательности правильных многогранников и мозаик, имеющих четыре грани на вершину. Последовательность начинается с октаэдра, символы Шлефли последовательности — {n,4}, а диаграммы Коксетера — при n, стремящемся к бесконечности.

Варианты симметрии *n42 правильных мозаик {n,4}
Сферические		Евклидовы	Гиперболические мозаики

2⁴	3⁴	4⁴	5⁴	6⁴	7⁴	8⁴	...∞⁴

Варианты симметрии *n42 квазиправильных двойственных мозаик: V(4.n)²
Симметрия *4n2 [n,4]	Сферические	Евклидовы	Компактные гиперболические				Паракомпактные	Некомпактные
Симметрия *4n2 [n,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[iπ/λ,4]
Мозаика Конф.	V4.3.4.3	V4.4.4.4	V4.5.4.5	V4.6.4.6	V4.7.4.7	V4.8.4.8	V4.∞.4.∞	V4.∞.4.∞

Варианты симметрии *n42 расширенных мозаик: n.4.4.4
Симметрия [n,4], (*n42)	Сферические	Евклидовы	Компактные гиперболические				Паракомпактные
Симметрия [n,4], (*n42)	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]	*∞42 [∞,4]
Расширенные тела
Конфиг.	3.4.4.4	4.4.4.4	5.4.4.4	6.4.4.4	7.4.4.4	8.4.4.4	∞.4.4.4
Ромбические тела конфиг.	V3.4.4.4	V4.4.4.4	V5.4.4.4	V6.4.4.4	V7.4.4.4	V8.4.4.4	V∞.4.4.4

Построение Витхоффа из квадратной мозаики

Подобно однородным многогранникам существует восемь однородных мозаик^[англ.], имеющих в основе правильную квадратную мозаику.

Рисуя оригинальные грани красным цветом, оригинальные вершины жёлтым, а оригинальные рёбра синим, получим 8 различных мозаик. Однако существует только три топологически различных мозаики — квадратная мозаика, усечённая квадратная мозаика и плосконосая квадратная мозаика.

Однородные мозаики на основе симметрии квадратной мозаики
Симметрия: [4,4], (*442)							[4,4]⁺, (442)	[4,4⁺], (4*2)


{4,4}	t{4,4}	r{4,4}	t{4,4}	{4,4}	rr{4,4}	tr{4,4}	sr{4,4}	s{4,4}
Uniform duals


V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.4.4.4	V4.8.8	V3.3.4.3.4

Топологически эквивалентные мозаики

Изогональный вариант с двумя типами граней

2-изоэдральный вариант с ромбическими гранями

Другие четырёхугольные мозаики могут быть топологически эквивалентны квадратным мозаикам (4 четырёхугольника при каждой вершине).

Изоэдральные мозаики имеют одинаковые грани (транзитивность по граням) и они вершинно транзитивны. Имеется 18 вариантов, при этом 6 имеют треугольные грани, не соединяющиеся ребро-к-ребру, и ещё 6 состоят из четырёхугольников с двумя параллельными рёбрами (трапеций). Приведённая симметрия предполагает, что все грани выкрашены в один цвет^[2].

Изоэдральные четырёхугольные мозаики
Квадрат p4m, (*442)	Прямоугольник pmm, (*2222)	Параллелограмм p2, (2222)	Параллелограмм pmg, (22*)	Ромб cmm, (2*22)


Трапеция cmm, (2*22)	Четырёхугольник pgg, (22×)	Дельтоид pmg, (22*)	Четырёхугольник pgg, (22×)	Четырёхугольник p2, (2222)

Вырожденные четырёхугольники или треугольники, не соприкасающиеся ребро-к-ребру
Равнобедренный pmg, (22*)	Равнобедренный pgg, (22×)		Неравносторонний pgg, (22×)		Неравносторонний p2, (2222)

Упаковка кругов

Квадратную мозаику можно использовать для упаковки кругов, если размещать круги одинакового диаметра с центрами в вершинах квадратов. Каждый круг соприкасается с четырьмя другими кругами упаковки (контактное число)^[3]. Плотность упаковки равна $\pi /4\approx 78{,}54\%$ . Существует 4 однородных раскраски упаковки кругов.

Связанные правильные комплексные бесконечноугольники

Существует 3 правильных комплексных апейрогона, имеющих те же вершины, что и квадратная мозаика. Правильные комплексные апейрогоны имеют вершины и рёбра, при этом рёбра могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p{q}r ограничены выражением 1/p + 2/q + 1/r = 1. Здесь предполагается, что рёбра содержат p вершин, а вершинная фигура r-гональна^[4].

Самодвойственные	Двойственные

4{4}4 или	2{8}4 или	4{8}2 или

См. также

Примечания

↑ Голомб, 1975, с. 147.
↑ Grünbaum, Shephard, 1987, с. 473—481.
↑ Critchlow, 1987, с. 74—75.
↑ Coxeter, 1973, с. 111—112, 136.

Литература

Голомб С. В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — 207 с.
Coxeter H. C. M. Table II: Regular honeycombs // Regular Polytopes (book)^[англ.]. — Third edition. — Dover Edition, 1973. — С. 296. — ISBN 0-486-61480-8.
Klitzing, Richard 2D Euclidean tilings o4o4x — squat — O1 Архивная копия от 9 декабря 2017 на Wayback Machine
Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 36. — ISBN 0-486-23729-X.
Branko Grünbaum, G. C. Shephard. Tilings and Patterns. — W. H. Freeman, 1987. — С. 58—65 (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings). — ISBN 0-7167-1193-1.
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — Wellesley, MA: A K Peters, Ltd., 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5. Архивная копия от 19 сентября 2010 на Wayback Machine
Keith Critchlow. Order in Space: A design source book. — New York: Thames & Hudson, 1987. — С. 77—76, pattern 8. — ISBN 0-500-34033-1.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Square Grid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Regular tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Uniform tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[_6b9202249e5888ce-1] Голомб, 1975, с. 147.

[_04f237c424766de7-2] Grünbaum, Shephard, 1987, с. 473—481.

[_3252db9339bda69e-3] Critchlow, 1987, с. 74—75.

[_aab914dab8d4c1aa-4] Coxeter, 1973, с. 111—112, 136.

[1]

[2]

[3]

[4]