Изолированная особая точка

Изолированная особая точка — точка, в некоторой проколотой окрестности которой функция $f(z)$ однозначна и аналитична, а в самой точке либо не задана, либо недифференцируема. Например, точка $z=0$ является изолированной особой точкой для функции $z^{-1}$, а особая точка $z=0$ функции $f(z)=(1+e^{1/z})^{-1}$ изолированной не является, поскольку основание обращается в нуль при $z_{k}=(\pi (2k+1)i)^{-1}$ для всякого целого $k$.

Если $a$ — изолированная особая точка для $f(z)$, то $f(z)$, будучи аналитической в некоторой проколотой окрестности этой точки, разлагается в ряд Лорана, сходящийся в этой окрестности:

$f(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}(z-a)^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{-n}}{(z-a)^{n}}}$.

Первая часть этого разложения называется правильной частью ряда Лорана, вторая — главной частью ряда Лорана.

Тип особой точки функции определяется по главной части этого разложения — точка может быть устранимой (если главная часть равна нулю), полюсом (главная часть содержит конечное число ненулевых членов) или существенно особой (главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов).

Литература

• Изолированная особая точка — статья из Математической энциклопедии. Е. Д. Соломенцев