Задача Минковского

Задача Минковского:

существует ли замкнутая выпуклая гиперповерхность $F$ , у которой гауссова кривизна $G(n)$ является заданной функцией единичного вектора внешней нормали $n$ .

Поставлена Минковским, которому принадлежит обобщённое решение задачи в том смысле, что оно не содержит никакой информации о характере регулярности $F$ , даже если $G(n)$ — аналитическая функция. Он доказал, что если заданная на единичной гиперсфере $S$ непрерывная положительная функция $G(n)$ удовлетворяет условию

\int \limits _{S}{\frac {n}{G(n)}}ds=0,

то существует и притом единственная (с точностью до параллельного переноса) замкнутая выпуклая поверхность $F$ , для которой $G(n)$ является гауссовой кривизной в точке с внешней нормалью $n$ .

Регулярное решение задачи Минковского дано А. В. Погореловым в 1971 году. В частности, он доказал, что если $K(n)$ принадлежит классу $C^{m}$ , $m\geq 3$ , то получаемая поверхность $F$ принадлежит классу гладкости $C^{m+1,\alpha }$ , а в случае аналитичности $K(n)$ поверхность $F$ также оказывается аналитической.

Вариации и обобщения

Существует обобщение задачи Минковского для риманова пространства^[1].

См. также

Теорема Минковского о многогранниках

Литература

↑ Bodrenko A.I. The solution of the Minkowski problem for open surfaces in Riemannian space. Архивная копия от 21 февраля 2020 на Wayback Machine Arxiv.org, 2007.

Minkowski H. Volumen und Oberfläche, Mathematische Annalen, 57 (1903) 447—495
Погорелов А. В., Многомерная проблема Минковского, М., 1971;
Буземан Г. Выпуклые поверхности. — 1964.

[1] Bodrenko A.I. The solution of the Minkowski problem for open surfaces in Riemannian space. Архивная копия от 21 февраля 2020 на Wayback Machine Arxiv.org, 2007.

[1]