Домики и колодцы

Задача о трёх домиках и трёх колодцах — классическая математическая головоломка: проложить от каждого из трёх колодцев к каждому из трёх домиков непересекающиеся тропинки. Формулировка задачи приписывается Эйлеру. В современной литературе иногда встречается в следующей форме: возможно ли к каждому из трёх домиков проложить без пересечений на плоскости трубы (рукава) от трёх источников — теплоснабжения, газоснабжения и водоснабжения («вода, газ, теплоэнергия»).

Головоломка не имеет решения: топологическая теория графов, изучающая вложение графов в поверхности, даёт отрицательный ответ на вопрос о возможности изобразить соответствующий граф на плоскости без пересечений рёбер.

Полный двудольный граф $K_{3,3}$ , представляющий задачу, называют «домики и колодцы», «коммунальный граф» (англ. utility graph), граф Томсена^[1].

Формализация

Граф

K_{3,3}

В терминах теории графов задача сводится к вопросу о планарности полного двудольного графа $K_{3,3}$ . Этот граф эквивалентен циркулянтному графу $Ci_{6}(1,3)$ . Казимир Куратовский в 1930 году доказал, что $K_{3,3}$ непланарен, а потому задача не имеет решения^[2].

Одно из доказательств невозможности найти плоское вложение $K_{3,3}$ использует разбор случаев, привлекая теорему Жордана, рассматриваются различные возможности расположения вершин по отношению к циклам длины 4 и показывается, что они несовместимы с требованием планарности^[3]. Также можно показать, что для любого двудольного планарного графа без мостов с $n$ вершинами и $m$ рёбрами $m\leqslant 2n-4$ , если скомбинировать формулу Эйлера $n-m+f=2$ (здесь $f$ — число граней планарного графа) с наблюдением, что число граней не превышает половины числа рёбер (поскольку любая грань имеет не менее четырёх рёбер и каждое ребро принадлежит ровно двум граням). При этом в графе $K_{3,3}$ : $m=9$ и $2n-4=8$ , что нарушает неравенство, так что этот граф не может быть планарным.

Неразрешимость задачи непосредственно следует из каждой из следующих важных теорем о планарных графах: теоремы Куратовского, согласно которой планарные графы — это в точности те графы, которые не содержат подграфов, гомеоморфных $K_{3,3}$ и полному графу $K_{5}$ , и теоремы Вагнера о том, что планарные графы — это в точности те графы, которые не содержат ни $K_{3,3}$ , ни $K_{5}$ в качестве минора, содержат в себе этот результат.

Свойства K_3,3

Граф $K_{3,3}$ является, как и все другие полные двудольные графы, хорошо покрытым, что означает, что все наибольшие независимые множества в этом графе имеют один и тот же размер. В этом графе имеется только два наибольших независимых множества — это доли двудольного графа, и очевидно, что они равны. $K_{3,3}$ — это один из семи 3-регулярных 3-связных хорошо покрытых графов^[4].

Граф $K_{3,3}$ является ламановым, что означает, что он образует минимальную структурную жёсткость^[англ.], когда он вкладывается в плоскость (с пересечениями). Это пример минимального ламанова графа, в то время как другой непланарный граф $K_{5}$ не является минимально жёстким.

Вариации и обобщения

Изображение

K_{3,3}

на торе.

Изображение

K_{3,3}

с единственным скрещиванием.

$K_{3,3}$ является тороидальным, что означает возможность вложить его в тор. Эквивалентным утверждением является равенство рода графа $K_{3,3}$ единице, откуда следует, что он не может быть вложен в поверхность с родом меньше единицы. Поверхность с родом равным единице эквивалентна тору.
- В частности головоломка про домики и колодцы имеет решение на поверхности кружки (такие кружки даже можно увидеть в продаже).

Проблема Заранкевича, также известная как задача о кирпичном заводе Пала Турана, задаёт более общий вопрос — найти формулу минимального числа скрещиваний в рисунке полного двудольного графа $K_{a,b}$ , зависящую от чисел $a$ и $b$ двух долей графа. Граф $K_{3,3}$ можно нарисовать всего с одним скрещиванием, но не с нулём, так что его число скрещиваний равно единице. Связана задача с тем, что во время войны Туран работал на кирпичном заводе, и от каждой печи к каждому складу была проведена узкоколейка. Вагонетки трудно толкать по скрещениям, отсюда и задача: как сделать, чтобы пересечений было поменьше.

Примечания

↑ W. G. Brown. On graphs that do not contain a Thomsen graph // Canadian Mathematical Bulletin. — 1966. — Т. 9. — С. 281–285. — doi:10.4153/CMB-1966-036-2.
↑ Результат является следствием более общего факта, установленного Куратовским — теоремы Куратовского; в русскоязычной литературе утверждается, что доказательство этого факта впервые найдено Понтрягиным в 1927 году, но не было своевременно опубликовано.
↑ Richard J. Trudeau. Introduction to Graph Theory. — Corrected, enlarged republication.. — New York: Dover Pub., 1993. — С. 68–70. — ISBN 978-0-486-67870-2. Архивировано 5 мая 2019 года.
↑ S. R. Campbell, M. N. Ellingham, Gordon F. Royle. A characterisation of well-covered cubic graphs // Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing. — 1993. — Т. 13. — С. 193–212.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Utility graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
The Utilities Puzzle // Archimedes-lab.org
3 Utilities Puzzle // cut-the-knot
Jim Loy. Proof That the Impossible Puzzle is Impossible. Архивировано 20 января 2007 года.

[1] W. G. Brown. On graphs that do not contain a Thomsen graph // Canadian Mathematical Bulletin. — 1966. — Т. 9. — С. 281–285. — doi:10.4153/CMB-1966-036-2.

[2] Результат является следствием более общего факта, установленного Куратовским — теоремы Куратовского; в русскоязычной литературе утверждается, что доказательство этого факта впервые найдено Понтрягиным в 1927 году, но не было своевременно опубликовано.

[3] Richard J. Trudeau. Introduction to Graph Theory. — Corrected, enlarged republication.. — New York: Dover Pub., 1993. — С. 68–70. — ISBN 978-0-486-67870-2. Архивировано 5 мая 2019 года.

[4] S. R. Campbell, M. N. Ellingham, Gordon F. Royle. A characterisation of well-covered cubic graphs // Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing. — 1993. — Т. 13. — С. 193–212.

[1]

[2]

[3]

[4]