Группоид (теория категорий)

Группо́ид в теории категорий — категория, в которой все морфизмы являются изоморфизмами. Группоиды можно рассматривать как обобщение групп: категория, соответствующая группе $G$ , имеет ровно один объект и по одной стрелке для каждого элемента $g$ из $G$ , композиция стрелок задаётся как умножение соответствующих элементов в группе, при этом каждая стрелка является изоморфизмом; таким образом, множество стрелок группоида можно рассматривать как некоторое множество с частично определённой бинарной операцией умножения, так что для каждого элемента существуют левый и правый обратный, а также левая и правая единица по умножению.

В то время как повороты кубика Рубика составляют группу (с точки зрения теории категорий — изоморфизмы в категории с одним объектом), ходы в пятнашках можно сопоставить морфизмам соответствующего группоида (объектами являются положения головоломки), поскольку ход можно сделать не из всякого положения.

Группоиды естественно заменяют в теории категорий группы симметрий и возникают при классификации классов изоморфных объектов.

Любая категория, являющаяся группой, является группоидом. Для произвольной категории $C$ группоидом является подкатегория $D\hookrightarrow C$ , объекты которой совпадают с объектами $C$ , а морфизмами являются всевозможные изоморфизмы в $C$ .

Для линейно связного топологического пространства $X$ определяется его фундаментальный группоид $\Pi _{1}(X)$ как 2-категория, объектами которой являются все точки из $X$ , а стрелки из $x\in X$ в $y\in X$ соответствуют всевозможным (геометрическим) путям из $x$ в $y$ :

f\colon [0;1]\to X,~f(0)=x,\;f(1)=y

.

Две функции $f$ и $g$ задают один и тот же путь, если существует $s:[0;1]\to [0;1]$ , так что $f=g\circ s$ или $g=f\circ s$ . Композиция стрелок задаётся композицией путей:

fg(t)={\begin{cases}f(2t),\;0\leqslant t\leqslant 1/2\\g(2t-1),\;1/2\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

.

2-морфизм из $f$ в $g$ — это гомотопия из $f$ в $g$ . Фундаментальный группоид является категорификацией фундаментальной группы. Его преимущество в том, что в пространстве не требуется выбор отмеченной точки, так что не возникает проблем с неканоничностью изоморфизма фундаментальных групп в разных точках или с пространствами, имеющими несколько компонент связности. Фундаментальная группа петель из точки $x\in X$ возникает как группа 2-изоморфных автоморфизмов объекта $x\in \Pi _{1}(X)$ .

Категория векторных расслоений ранга $n$ над стягиваемым пространством с невырожденными отображениями естественно образует группоид; в связи с этим вводится понятие джерба^[англ.] (который является частным случаем стека^[англ.]), представляющего собой структуру на категории пучков заданного типа. Джербы являются геометрическими объектами, классифицируемыми группами когомологий $H^{2}(X,{\mathcal {G}})$ , где ${\mathcal {G}}$ — пучок групп на $X$ . Понятие особенно важно в случае неабелевых групп ${\mathcal {G}}$ .

Литература

Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.