Гипотезы Поллока
Гипотезы По́ллока — серия гипотез о фигурных числах, которые выдвинул в 1850 году британский математик-любитель Фредерик Поллок[1][2][3]. Эти гипотезы можно рассматривать как дополнение теоремы Ферма о многоугольных числах, в том числе расширение теоремы на случай пространственных фигурных чисел. По состоянию на 2024 год доказаны только две из четырёх гипотез.
Первая гипотеза Поллока: любое натуральное число есть сумма не более чем девяти кубических чисел. Доказана в начале XX века. Обычно достаточно семи кубов, но 15 чисел (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454)[4] требуют восьми, а двум числам (23 и 239) нужны все девять. Если, кроме сложения, допускать вычитание, то достаточно и пяти кубов[5] (возможно, что даже четырёх, но это пока не доказано)[6].
Вторая гипотеза Поллока: любое натуральное число есть сумма не более чем одиннадцати центрированных девятиугольных чисел[7]. Была доказана в 2023 году[8].
Третья гипотеза Поллока: любое натуральное число есть сумма не более чем пяти тетраэдральных чисел[9]. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардов. Обнаружено 241 число, для которых четырёх тетраэдральных чисел недостаточно (17, 27, 33, 52, 73, …)[10], скорее всего, последнее из них равно 343867[9].
Четвёртая гипотеза Поллока обобщает часть предыдущих: если — число вершин одного из пяти правильных многогранников (4, 6, 8, 12 или 20), то каждое натуральное число является суммой не более чем фигурных чисел, соответствующих этому многограннику, то есть[3]:
- (, тетраэдр) не более 5 тетраэдральных чисел;
- (, октаэдр) не более 7 октаэдральных чисел;
- (, куб) не более 9 кубических чисел;
- (, икосаэдр) не более 13 икосаэдральных чисел;
- (, додекаэдр) не более 21 додекаэдральных чисел.
- В случае октаэдральных чисел была доказана для всех достаточно больших чисел.
Примечания
править- ↑ Frederick Pollock. On the extension of the principle of Fermat's theorem on the polygonal numbers to the higher order of series whose ultimate differences are constant. With a new theorem proposed, applicable to all the orders (англ.) // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. — 1850. — Vol. 5. — P. 922—924. — .
- ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 231—232, 239, 337.
- ↑ 1 2 Leonard Eugene Dickson. History of the Theory of Numbers, Vol. II: Diophantine Analysis (англ.). — Dover, 2005. — P. 22—23. — ISBN 0-486-44233-0.
- ↑ последовательность A018889 в OEIS
- ↑ Математические задачи. Студенческие олимпиады. Дата обращения: 16 декабря 2019. Архивировано 21 ноября 2021 года.
- ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 231—232.
- ↑ Dickson, L. E. (2005), Diophantine Analysis, History of the Theory of Numbers, vol. 2, New York: Dover, pp. 22—23 Источник. Дата обращения: 16 июня 2019. Архивировано 21 ноября 2021 года..
- ↑ Kureš, Miroslav (2023-10-27). "A Proof of Pollock's Conjecture on Centered Nonagonal Numbers". The Mathematical Intelligencer (англ.). doi:10.1007/s00283-023-10307-0. ISSN 0343-6993.
- ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Pollock's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ последовательность A000797 в OEIS
Литература
править- Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.