Центрированное девятиугольное число

Центрированное девятиугольное число — это центрированное фигурное число, которое представляет девятиугольник с точкой в середине и все окружающие точки лежат на девятиугольных слоях. Центрированное девятиугольное число для n задаётся формулой

$Nc(n)={\frac {(3n-2)(3n-1)}{2}}.$

Умножая (n — 1)-ое треугольное число на 9 и добавляя 1 получим n-ое центрированное девятиугольное число, но имеется и более простая связь с треугольными числами — каждое третье треугольное число (1-е, 4-е, 7-е, и т. д.) также центрированное девятиугольное число.

Первые несколько центрированных девятиугольных чисел

1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946 (последовательность A060544 в OEIS)

Заметьте, что следующие совершенные числа встречаются в списке:

3-е центрированное девятиугольное число есть 7 x 8 / 2 = 28, и 11-е есть 31 x 32 / 2 = 496.

Далее: 43-ое есть 127 x 128 / 2 = 8128, и 2731-е есть 8191 x 8192 / 2 = 33,550,336.

За исключением 6, все чётные совершенные числа являются также центрированными девятиугольными числами, по формуле

$Nc\left({\frac {2^{p}+1}{3}}\right)=2^{p-1}(2^{p}-1),$ где 2^p−1 — простые числа Мерсена.

В 1850-м году, Поллок высказал предположение, что любое натуральное есть сумма максимум одиннадцати центрированных девятиугольных чисел, которое было доказано в 2023-м году.

См. также

• Девятиугольное число

Ссылки

• Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. Figure M3826 in The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic Press, 1995.
• https://web.archive.org/web/20160414124715/http://www.statemaster.com/encyclopedia/Centered-nonagonal-number
• https://web.archive.org/web/20160305071224/http://www.fact-archive.com/encyclopedia/Centered_nonagonal_number